理论篇

1 1+1=2：数学的溯源

数学独立于时空之外，在哪个宇宙都是亘古不变的。

从远古说起

在远古时期，两个古埃及人若是在尼罗河捕到了3条鱼，那会是他们一天中最幸福的时刻。因为在物资极其匮乏的原始部落里，3是他们能想到的最大的数字。如果一个数字大于3，他们的脑袋就会变成一团乱麻，只能回答“许多个”或者“数不清”。

但很快，这两个古埃及人开始苦恼起来，香气扑鼻的烤肉味使他们在心中打起了小算盘。两人偷偷地摆弄起自己的手指计数：每人一条鱼，那就是丨和丨，摆在一起显然是丨丨，那剩下的鱼怎么办呢？将它带回去赠给年逾古稀的酋长，还是献祭给护佑部落的法老，或者直接丢回尼罗河，让它回归自己的故乡？

第3条鱼宿命如何，我们不知道，但是在分配食物的过程中，祖先在有了“数量”的概念之后，逐渐意识到了1+1=2，这看似小儿科，却是人类文明史上极其伟大的时刻。因为在祖先认识到两数相加得到另一个确定的数时，已经具备了超越其他种族的数学思维，并且发现了“数学”的一个重要的性质——可加性。

1+1=2，关于这个公式，它直接涉及的就是加法和自然数 1。它看似简单，却是数学最原始的种子，有了这颗种子，数学这棵树才开始生根发芽、茁壮成长，直至今天成为人类文明的基石之一。

加法和自然数

我们已经无从考证，加法究竟产生于何时，但从文字记载中发现，加法和减法运算是人类最早掌握的两种数学运算。古埃及的阿默斯纸草书中就用向右走的两条腿“”表示加号，向左走的两条腿“”表示减号。

目前通用的“+”“-”出现于欧洲的中世纪时期，当时酒商在售出酒后，曾用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒增加时，便用竖线把原来画的横线划掉，于是就出现“-”和“+”两个符号。1630年以后，“+”作为运算符号得到公认。

自然数比“+”“-”出现得更早。大约在1万年以前，冰河退却的石器时代，马背上的游牧狩猎者开始了一种全新的生活，他们从马背上跳了下来选择农耕，虽然吟游诗人一直在歌颂自由的游猎生活，但那只是表面的风光。实际上，寻找到一块肥沃的土地定居下来，刀耕火种才能让一个家吃饱穿暖，繁衍后代。

这是一种巨大的改变，与简单粗暴的掠夺方式不同，他们需要掌握更多的数学知识，记录季节和日期，计算收成和种子。这让这群四肢发达的壮汉很是头疼。

在尼罗河谷、底格里斯河与幼发拉底河流域，很快就发展起了更复杂的农业社会，这群刚进入新时代的农民还遇到了交纳租税的问题。显然，过去石器部落文化里总结的“1、2、3”已远远不够用了，人们迫切需要“数”有名称，而且计数必须更准确。

然而，没有人见过自然数，也没有人知道它是怎么排列分布的。

自然数是用以计量事物的件数或表示事物次序的数。它的分布或许是兜兜转转一个圈，或许是螺旋交错缠绕式，或许是放射爆炸发散式……不同的选择就会有不同的结果。数学最后选择的是不可逆的直线式的有序体系，如图1-1所示，自然数也有了统一的表现方式。

自然数和加法的出现，标志着人类有了自己的数学“桥头堡”。从此，人类开启了智力之路的漫漫长征。

皮亚诺的五条公理

我们都知道1+1=2，但你是否想过1+1为什么等于2 ？

一旦思考这个问题，就会陷入无穷无尽的烦恼之中——只要涉及本质的追问，人类总是手足无措，就像我们追问宇宙大爆炸中谁是“第一推动力”一样。

很多人会说，这个公式是无须证明、无须解释的。但那些真理的信徒并不认为这是一个好答案，他们热衷于“钻牛角尖”：凭什么1+1=2就不需要证明了？

有几位数学家孜孜不倦地在探索中为我们解答了这一问题。其中，意大利数学家皮亚诺用公理 2把自然数安放在了数学世界中，用五条公理建立了一阶算术系统，可以用来推导出1+1=2这一最简单的等式。

公理1 ：0是自然数。

茫茫的数学宇宙里，从此有了第一个身影——0，如图1-2所示。

公理2 ：每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数 3 a′， a′也是自然数。

那么，这个自然数起点0是怎么爆发的呢？后继数会以什么样的形式出现？是调皮地围着0转，还是偷偷地跑到0的后面，抑或是狠心地留0在那儿？

公理2做出了选择，让偌大的数学空间中出现的每个数都拥有一个确定的后继数陪伴着自己，如图1-3所示。

公理3 ：0不是任何自然数的后继数。

为了避免后继数不守规矩跑到0的前面，公理3确定了0必须也只能是自然数的第一个数。但是防不胜防，这群后继数也没那么安分，有可能2的后继数2=3′，也可能3的后继数3=3′，如图1-4所示。

公理4：不同的自然数有不同的后继数。

为避免上述情况，公理4定义：如果n与m均为自然数且n≠m ，那么n′≠m′；如果b、c均为自然数，且b′=c ′ ，那么b=c。同一个自然数的后继数相等，不同自然数的后继数不相等。这样，3就不可能既是2的后继数，也是3的后继数了。但如果出现图1-5中2.5这样的数呢？

为了杜绝2.5这样的非自然数出现，公理5出现了。

公理5 ：假定P(n ) 是自然数的一个性质，如果P(0) 是真的，且假定P(n ) 是真的，则P(n′)也是真的，那么命题对所有自然数都为真。

它还有另外一种表述形式。

设S是自然数集的一个子集，且满足：（1）0属于S ；（2）如果n属于S，那么n′也属于S，则S是包含全体自然数的集合，即S=N。

这里的说法可能会有点拗口，但皮亚诺是一个颇有潜力的“饶舌歌手”。其实这是数学中的归纳公理，也就是说，如果定义了一个自然数的性质，那么所有自然数都将满足这个性质，不满足的就不是自然数。这样，我们可以定义自然数系：存在一个自然数系N，当且仅当这些元素满足公理1~5时，称其元素为自然数。

然后，定义加法是满足以下两种规则的运算：

（1）对于任意自然数m， 0+m=m ；

（2）对于任意自然数m和n， n′+m=(n+m)′。

这样，我们就可以证明1+1=2 ：

或者

因为1+1 的后继数是1的后继数的后继数，即3；又因为2的后继数也是3，根据皮亚诺公理4，不同自然数的后继数不同，反之，如果两个自然数的后继数相同，那么这两个自然数就相等，所以1+1=2。

这样，根据皮亚诺五条公理建立起来的皮亚诺一阶算术系统，我们就推导出了1+1=2。

哥德巴赫猜想另一个“1+1”

如何推导出1+1=2，数学家在自己的世界里寻找到了一个相对满意的答案，虽然有点“自欺欺人”，但总算放下了心里的一块石头。然而，比这个更麻烦的，是解决世间另一个“1+1”，这才是历代数学家的心头之痛。

哥德巴赫猜想是数学皇冠上一颗可望而不可即的“明珠”，堪称世界近代三大数学难题之一。

在18世纪前后，德国一个富家子弟哥德巴赫厌倦了锦衣玉食的生活，于是在某个失眠的夜晚过后，不顾家人阻拦，跑去做了一名中学教师，还从此一发不可收地爱上了数学，就连晚上回家休息也在捣鼓阿拉伯数字。他生平最喜欢玩的游戏竟是加法运算，而且还在玩加法游戏的过程中发现了一个规律：任何大于5的奇数都是三个素数 4之和。但令他无奈的是，他虽然发现了这个神秘的数学规律，却怎样也无法证明自己的发现。后来，他只能求助于当时数学界的权威人士欧拉。

1742年6月7日，哥德巴赫写信给欧拉，提出任何大于5的奇数都是三个素数之和。随便取一个奇数77，可写成三个素数之和， 77=53+17+7。再任取一个奇数461，461=449+7+5，也是三个素数之和；461还可以写成257+199+5，仍然是三个素数之和。

没想到数学家欧拉居然也被这个问题给难住了。1742年6月30日，欧拉给哥德巴赫回信：这个命题看来是正确的，但我也给不出严格的证明。为了挽回自己的面子，“狡猾”的欧拉同时还提出了另一个等价命题：任何一个大于2的偶数都是两个素数之和。

这样一个“任一充分大的偶数，都可以表示为一个素因子个数不超过a个的数，与另一个素因子不超过b个的数之和”的命题，就被记作a+b，哥德巴赫猜想（也称哥德巴赫-欧拉猜想）也因此被称为另一个“1+1”。迄今为止，这个“1+1”只留下一份如图1-6所示的稀世手稿，而有关它的证明依然在困扰着数学界。

二进制世界里的1+1

德国图林根著名的郭塔王宫图书馆中有一份弥足珍贵的手稿，它的标题为：“1与0，一切数字的神奇渊源。这是造物秘密的美妙典范，因为，一切无非都来自上帝。”

这是德国天才大师莱布尼茨的手迹，他用异常精炼的描述，展示了一个神奇美妙的数字系统——二进制。他告诉我们：1+1≠2，在计算机代码的世界里，1+1=10。

莱布尼茨在1697年还特意为“二进制”设计了一枚银币，如图1-7所示，并把它作为新年礼物献给他的保护人奥古斯特公爵。莱布尼茨设计此银币的目的是，以公爵的身份来引起人们对他创立的二进制的关注。

银币正面是威严的公爵图像，幽暗的瞳孔似乎在沉思什么；反中间部分雕刻的是从1到17的二进制数学式。面则刻画着一则创世故事——水面上笼罩着黑暗，顶部光芒四射……

二进制是计算机技术中广泛采用的一种数制。二进制数据是用0和1两个数码来表示的。它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”。当前的计算机系统使用的基本上都是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码 5的形式存储的。

可以说，从20世纪第三次科技革命爆发以来，人类就进入了计算机时代，我们在虚拟的网络里游戏、社交、狂欢。到了21世纪，我们开始致力于人工智能的开发，而这些东西本质上都是由计算机实现的。在未来，完全身处于数字时代的我们，必将被二进制代码笼罩。这个世界，1+1就只可能等于2吗？

结语人类文明的“根”

不管是现实生活中简单易懂的1+1=2，还是互联网世界里的1+1=10，都以其自身的客观性和普适性在时间长河里自证“伟大”。

1+1=2种下了数学的种子，推动了理性世界的基本运转。它简洁美妙，无处不在，是人类文明重要的“根”。

1 自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数，即用数码0，1，2，3，4…所表示的数。自然数分为偶数和奇数、合数和质数等。

2 公理：依据人类理性的不证自明的基本事实，经过人类长期反复实践的考验，不需要再加证明的基本命题。一个公理不能被其他公理推导出来（除非有冗余的）。

3 后继数：紧接某个自然数后面的一个数，如2的后继数是3，4的后继数是5。0不是任何自然数的后继数，每一个确定的自然数都有一个确定的后继数。

4 素数：又称质数，有无限个，素数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数，即除了1和它本身，不能被其他自然数整除的数。

5 补码：在计算机系统中，数值一律用补码来表示和存储。原因在于，使用补码可以将符号位和数值域统一处理；同时，加法和减法也可以统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。