1.3.3　证明不等式

通常，结合一个函数的单调性和极值点，即可得到不等式.

例1.10　当 时，证明: .

解答　考虑函数 ，由上文知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 是 的最小值点，最小值 ，从而

，

这便证明了该不等式.　　■

例1.11　当 时，证明: .

解答　考虑函数 ，计算得

,

因此 在 内单调递增，从而

.

这便证明了该不等式.　　■

高考题中也会有证明不等式的问题，对于大多数情况，结合函数的单调性就能得到不等式.

真题 1.8(取自 2023 年新高考 I 卷)　已知函数 .证明: 当 时，.

解答　计算得 ，令 ，解得 .当 时 ，当 时 ，因此 在 内单调递减，在 内单调递增，有

.

要证明 ，只需证明关于 的不等式 ，即证明不等式 ，其中 .为此，构造函数

.

当 时 ，当 时 .因此 在 内单调递减，在 内单调递增，因此有

，

这便完成了证明.　　■

许多高考题都和不等式直接或间接相关，因此本书后面专门有一讲介绍函数相关的不等式，例如 和 .