1.3 导数的应用
1.3.1 单调性与极值点
首先，大家熟知的是，可以借助导数判断函数 
的单调性.
● 若 
，则 单调递增；
● 若 
，则 单调递减；
● 若 
，则 的单调性需要进一步判断.
对于一些比较复杂的函数而言，通过求导数判断单调性，比直接通过定义判断来得容易得多.
例1.6 设函数 
，判断 的单调性.
解答 计算得 
，有 
. 当 
时 ，当 
时 ，故 在 
内单调递减，在 
内单调递增. ■
我们知道，函数的最大值和最小值，指的是函数值的最大取值和最小取值.另外，高中教材也给出了函数的极大值和极小值的概念.许多人对函数的极大值的理解是“导函数有变号零点”，即导函数存在某个零点 
，且导函数图像在 
轴上穿过零点对应的点 
.然而，极值点的严格定义是函数在某个开区间上的最值点，这个是大家很容易忽略的.
定义 1.2 (极值点与极值) 函数 在某个开区间 
上的最大值点称为极大值点，最小值点称为极小值点，对应的函数值分别称为极大值和极小值.
通过上面的介绍，我们知道，导数可以用于判断函数的单调性和极值，可以给出如下的极值点的判断方法:
● 若 
，且在 附近有 
，即在 附近有
则 
为 的极小值点，
为 的极小值；
● 若 ，且在 附近有 
，即在 附近有
则 
为 的极大值点，为 的极大值.
事实上，如果 ，则 
与 
同号，即当 
时 ，而当 
时 ，这就说明了 是 的极小值点.在做题时，有时候会出现多个式子相乘后与 0 比较大小的不等式，这个时候也应该用类似的方法.
再进一步，如果函数的二阶导数存在，可以进一步对函数求二阶导数，并有如下的判断方法:
● 若 
，则 为 的极小值点；
● 若 
，则 为 的极大值点.
以第一种情况为例，如果 ，那么 应该在 附近单调递增，这使得当 时有 ，而当 时有 ，因此 为 的极小值点.
例1.7 设函数 ，求 的极小值点和极小值.
解答 根据上例，知 
是 的极小值点，极小值 
. ■
许多高考题只需要对函数的单调性进行分析就可以解决，见下面的真题.
真题1.5(取自2020 年 II 卷文数) 已知函数 
.
（1）若 
，求 
的取值范围；
（2）设 
，讨论函数 
的单调性.
解答 （1）根据 
，令 
，其中 ，计算得
，
因此 
在 
内单调递增，在 
内单调递减.
.因此 的取值范围是 
.
（2）此时 
，其中 
且 
，计算得
.
令 
，计算得
,
因此 
在 
内单调递增，在 
内单调递减，
，从而 
，这说明了 
在 和 内单调递减. ■
下面的题目涉及极值点，但是因为函数较为复杂，难度较大.
真题1.6(取自 2018 年 III 卷理数) 已知函数 
.
（1）若 
，证明：当 
时， 
；当 时， 
；
（2）若 是 的极大值点，求 
.
第一问不难，只需要判断函数 
的单调性即可.在后面我们会指出，这一问涉及的是一个非常重要的不等式；第二问有多种做法，一方面可以采取多次求导的方式，另一方面可以令
，
则当 
时，的极大值点也是 的极大值点，从而简化了求解过程.
解答 （1）当 时，，计算得
，
因此 在 
内单调递减，在 内单调递增，
，因此 在 
内单调递增.注意到 
，因此当 时 ，而当 时 .
（2）若 
，则由 （1）知，当 时，有
，
此与 是 的极大值点矛盾.以下设 
，当 
时，有 ，令
，
则 
，当且仅当 是 的极大值点时，是 的极大值点.计算得
.
考虑函数 
，其中 ，则 
，由此进行讨论.
（ⅰ）若 
，则
，
从而 在 内单调递增，在 内单调递减，是 的极大值点；
（ii）若 
，则 
在 0 附近单调递增[5]，此与 是极大值点矛盾；
［5］ 这里 是二次函数，若不放心，可以利用求根公式求出其零点，并且结合图像判断正负.
（iii）若 
，则 
在 0 附近单调递减，此与 是极大值点矛盾.综上，. ■