1.2.2　取对数求导法与隐函数求导法*

有了复合函数的运算法则后，可以引出两种常用的特殊求导方法.这两种方法一般来说会在高等数学中介绍，但是高中生完全可以理解，并且有时候非常好用.

首先是取对数求导法.考虑到有时候函数的乘法运算较多，或者指数较为复杂，可以考虑通过取对数的方式，将乘法转化为加法，将指数项转化为乘法.所谓的取对数求导法是指，在函数 的等式两边取对数，得

.

若此时等式右边的导数容易求出，记 ，根据复合函数的导数的运算法则可得

，

从而计算得到 .需要注意，取对数运算是非常常用的，它可以将指数项转化为乘法，进一步将乘法转化为加法.高考中的一些代数变形问题，都与对数有关.

例1.4　设函数 ，求 .

解答　对 取对数，可得 ，等式两边对 求导，可得

，

因此 .　　■

有了复合函数的运算法则后，还可以推出隐函数求导法.所谓的隐函数，指的是函数并没有显式的表达，而是通过方程或者其他形式确定了函数关系.

例如设椭圆的方程为 ，对于其上面的一点 ，假设 ，则在该点附近可以通过椭圆方程确定隐含的函数关系 ，并且是唯一的[4].更准确地说，有 或 ；至于是前者还是后者，需要结合 的位置来判断.

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[4]　这是通过分析学中的隐函数定理保证的，叙述起来较为复杂.

例1.5　求椭圆 在 处的切线方程.

解答　要求出 处的切线方程，可在等式两边同时对 求导，得

，

代入 ，解得 ，从而切线方程（有时候在圆雉曲线中也被称为极线方程) 为 .　　■

这是一个解析几何中非常常用的结论，形式上也非常像椭圆方程，只是将 换成 ，将 换成 而已.类似地，对于双曲线 ，可以求出其在（ ）处的切线方程为 .对于抛物线 的情形，读者可自行推导.