序言
60比50更美妙
在面向青少年的数学杂志《毕达哥拉斯》（Pythagoras）创刊60年之际，我们精选汇编了过去多年来杂志中的拼图、谜题、思维拓展与脑筋急转弯。《毕达哥拉斯》创刊于1961年，由荷兰数学教育委员会倡议发起，数学教育委员会会员约翰·万辛克（Johan Wansink）和汉斯·弗罗伊登塔尔（Hans Freudenthal）担任要职。创刊之初的两位编辑是赫里特·克罗斯霍夫（Gerrit Krooshof）与汉斯·德赖克（Hans de Rijk）［笔名布鲁诺·恩斯特（Bruno Ernst），因关于埃舍尔的著作而闻名］。作为《毕达哥拉斯》的编辑、主编和多篇文章的作者，布鲁诺·恩斯特40年来一直是这本杂志的顶梁柱。《毕达哥拉斯》的宗旨是让青少年与数学多样性和数学之美结缘，我们为此努力至今。《毕达哥拉斯》是一本面向学生的官方杂志，但也被许多忠实的数学爱好者订阅。
为纪念创刊50周年，我们曾出版《毕达哥拉斯的密码》（De Pythagoras Code）一书，收录了《毕达哥拉斯》成立半个世纪以来的文章。如今，又一个十年过去了。虽然大多数人会为50周年的里程碑感到自豪，但数学家们却对数字60更为满意。这并不是因为我们老了10岁，而是因为对我们来说60相较50是一个更美妙的数字。古巴比伦（约公元前3000年）被认为是数学的发源地，巴比伦人使用六十进制的计数系统。时至今日，我们依旧可以看到这段历史在日常生活中的体现：一分钟有60秒，一小时有3600秒（60×60），一个圆有360度（60×6）。顺便提一下，在毕达哥拉斯（Pythagoras，前580至前570之间—约500）之前，古巴比伦人就已经对勾股定理有所了解，出土于约公元前1700年的普林顿322泥板（Plimpton 322）就是明证。我们编写这本书的出发点是筛选出有数学洞察力的题目，即使对于没有很好的数学基础的读者，也是便于阅读和充满启发的，当然个别题目也需要运用到一些中学数学知识才能解决。我们希望借此向学生和其他读者传达，研习数学需要有敏锐的头脑和创造力。
此外，编辑部的其他成员也为本书的撰写做出了特别贡献，他们提供了建议、鼓励、修改意见和额外的知识。因此本书的编者在此感谢：尤里·阿拉特（Joery Allart）、马泰斯·科斯特（Matthijs Coster）、迈克·达斯（Mike Daas）、雅尼娜·达姆斯（Jeanine Daems）、克拉斯·彼得·哈特（Klaas Pieter Hart）、埃米耶尔·卡珀（Emiel Kaper）、尼尔斯·科伦布兰德（Niels Kolenbrander）、舒尔德·马尔布斯（Sjoerd Marbus）和莱克斯·斯洛尔特（Lex Slort）。编者同时感谢阿姆斯特丹文理中学4年级的学生卡托·斯海特马克（Cato Schuitemaker），感谢她对一星级谜题的认真评论。
最后，我想对所有（前）编辑和所有在过去60年中曾帮助《毕达哥拉斯》的志愿者表示衷心的感谢。他们当中的许多人对这本杂志的发展做出了诸多至关重要的贡献。对于这本书以及《毕达哥拉斯》的读者，我们想说：您对我们的存在是不可或缺的！我们希望能够在未来的许多年中继续与您分享我们对数学的热爱。
罗斯马赖·范霍梅里希（Roosmarij Vanhommerig）
《毕达哥拉斯》总编辑
你知道吗？存在无穷多个由正整数a、b和c组成的勾股数，其中a2+b2=c2。若将数字60设为三个数字的其中之一，则总共有12组勾股数。这其中有四组勾股数不能化简（即三个数互质）：
112+602=612
602+912=1092
602+2212=2292
602+8992=9012
你知道吗？
书中除了谜题和问题外，还有许多数学趣闻，在“你知道吗？”中列出。它包含数学界的有趣故事。通常还会伴随着一个问题，可能有也可能没有给出解。它足够让读者思考和困惑一阵子。
对于谜题
本书中的每个谜题都标记有两个符号。圆点表示难度级别。一个点的谜题可以用常识和简单的数学技巧来解决。它们适合高年级小学生和初一学生。而两个点的谜题可能需要一些初中数学知识，例如解方程。三个点的谜题需要良好的洞察力和大量的思考和（或）解题过程，有时候也会用到高中的数学知识。此外，以下符号表示了谜题的主题：
几何谜题和各种运动、时间、时钟和测量问题。
棋盘和网格谜题。
数字和计算谜题。
分配问题（包括称重、切割、倒水和金钱问题）。
概率和计数问题。
拼图、游戏、逻辑及其他问题。
在一些谜题中，题目和（或）证明已经过修改，以促进统一性和明确性或使谜题更具挑战性。本书的第二部分是谜题的解释、证明和答案。在《毕达哥拉斯》网站的档案中，经常可以在相关问题中找到谜题的作者。也就是说，谜题的作者会被明确列出。在过去的60年中，这些谜题以各种名称出版：包括Denkertjes、Kleine Nootjes、Pythagoras Olympiadeopgaven、Problemen。在《毕达哥拉斯》的（社交媒体）网站上，Nootje Kraken的专栏下也发布了数量有限的谜题。谜题的解以
表示。尤其是在杂志的早期，所有的谜题都是由编辑们创作的，谜题中没有提到他们的名字。大部分的谜题都是原创的。还有一些谜题是基于数学爱好者和业余爱好者的“民间传说”谜题。本书的最后列出了《毕达哥拉斯》的编辑和固定工作人员的名单，他们的名字后面带有第一次参与时的年份。
页码
每一页上的页码同时也写为一个简短的算式：一小排数（1 1 2 2 3 3 4 4 5，依次出现两次），夹杂着运算符号。这些数以固定顺序排列。允许使用运算符号/操作+、-、×、÷、括号和成链（即1、2和2可以表示数122）。例如，第36页的（1+1+2+2）×（3+3），第94页的-（1+1）×2×2+3×34。
每个页面上都有该页码的解。给读者出的谜题是去掉最后一位或两位数字并重新将其组合为该页码，以此来找出更好的解。
关于本书的编者
扬·吉什拉尔（Jan Guichelaar，1945—2023）是一位理论物理学家，除了发表过物理学著作外，还发表过有关科学史的著作，其中包括20世纪初的荷兰天文学史。2001年到2021年，他担任《毕达哥拉斯》的编辑。本书中的题目就是由他选择的。
保罗·勒夫里（Paul Levrie，生于1959年）在安特卫普大学应用工程学院任教。他是一位数学家，多年来一直致力于让数学在佛兰德地区更受欢迎。为此在2014年，他和他的同事鲁迪·彭内（Rudi Penne）为感兴趣的数学爱好者写了一本名为《素数的辉煌》的书。2011年以来，他一直担任《毕达哥拉斯》的编辑。
电子邮件地址：paul@pyth.eu。
罗斯马赖·范霍梅里希（Roosmarij Vanhommerig，生于1981年）是一位数学家，也是数学教育领域的自由职业者。在各种各样的项目中，她积累了从小学到职业大学的教师、学科教学者、作家和项目负责人的经验。2017年以来，她一直担任《毕达哥拉斯》的编辑。
电子邮件地址：roosmarij@pyth.eu。
编辑与工作人员
1961年以来，编辑与工作人员姓名及首次被提及的年份：赫里特·克罗斯霍夫（Gerrit Krooshof，1961）、汉斯·德赖克[Hans de Rijk，即布鲁诺·恩斯特（Bruno Ernst），1961]、A.F.范托伦（A.F.van Tooren，1963）、A.B.奥斯藤（A.B.Oosten，1966）、H.J.恩格斯（H.J.Engels，1968）、G.A.冯克（G.A.Vonk，1968）、A.J.埃尔泽纳尔（A.J.Elsenaar，1969）、C.范德林登（C.van der Linden，1969）、R.H.普卢格（R.H.Plugge，1969）、W.克莱内（W.Kleijne，1973）、亨克·米尔德（Henk Mulder，1974）、扬·范德克拉茨（Jan van de Craats，1979）、黑塞尔·波特（Hessel Pot，1982）、吕克·凯克（Luc Kuijk，1983）、克拉斯·拉克曼（Klaas Lakeman，1983）、莱奥·维格林克（Leo Wiegerink，1983）、波普克·巴克（Popke Bakker，1988）、赫拉德·博伊尔勒（Gerard Baüerle，1988）、F.范德布莱（F.van der Blij，1988）、尼尔斯·鲍策尔特（Niels Buizert，1988）、汉斯·劳韦里尔（Hans Lauwerier，1988）、H.迪帕克（H.Duparc，1991）、鲍勃·德容斯特（Bob de Jongste，1991）、亨克·海斯曼斯（Henk Huysmans，1991）、泰斯·诺滕博姆（Thijs Notenboom，1991）、汉斯·欧米斯（Hans Oomis，1991）、弗朗克·罗斯（Frank Roos，1991）、保罗·范德费恩（Paul van de Veen，1992）、扬·马耶（Jan Mahieu，1993）、马塞尔·斯内尔（Marcel Snel，1993）、维姆·奥茨霍恩（Wim Oudshoorn，1995）、桑德尔·范赖恩斯沃（Sander van Rijnswou，1995）、罗纳德·范勒伊克（Ronald van Luijk，1996）、迪翁·海斯韦特（Dion Gijswijt，1996）、克拉斯·彼得·哈特（Klaas Pieter Hart，1996）、哈拉尔德·哈弗科恩（Harald Haverkorn，1996）、尔延·勒费布尔（Erjen Lefeber，1996）、皮尔·西尼亚（Pier Sinia，1996）、克里斯·扎尔（Chris Zaal，1996）、勒内·斯瓦陶（René Swarttouw，1997）、安德烈·德布尔（André de Boer，1999）、阿拉德·费尔德曼（Allard Veldman，2000）、勒内·潘涅库克（René Pannekoek，2000）、扬·忒特曼（Jan Tuitman，2000）、亚历克斯·范登布兰德霍夫（Alex van den Brandhof，2001）、马泰斯·科斯特（Matthijs Coster，2001）、扬·吉什拉尔（Jan Guichelaar，2001）、马尔科·斯瓦恩（Marco Swaen，2001）、迪克·贝克曼（Dick Beekman，2003）、阿尔诺·克列特（Arno Kret，2006）、安妮·德哈恩（Anne de Haan，2006）、伊丽丝·斯米特（Iris Smit，2006）、阿尔努·雅斯佩斯（Arnout Jaspers，2006）、雅尼娜·达姆斯（Jeanine Daems，2007）、亚历山大·范霍恩（Alexander van Hoorn，2009）、埃迪·奈霍特（Eddy Nijholt，2009）、泰门·费尔特曼（Tijmen Veltman，2009）、保罗·勒夫里（Paul Levrie，2011）、马克·赛尔豪尔（Marc Seijlhouwer，2012）、德克·皮克（Derk Pik，2012）、哈里·斯米特（HarrySmit，2013）、米歇尔·斯威林（MichelleSweering，2016）、巴斯·费尔泽费尔德（BasVerseveldt，2016）、克里斯蒂安·埃格蒙特（Christian Eggermont，2017）、埃米耶尔·卡珀（Emiel Kaper，2017）、罗斯马赖·范霍梅里希（Roosmarij Vanhommerig，2017）、迈克·达斯（Mike Daas，2020）、尼尔斯·科伦布兰德（Niels Kolenbrander，2020）、舒尔德·马尔布斯（Sjoerd Marbus，2020）、尤里·阿拉特（Joery Allart，2020）、莱克斯·斯洛尔特（Lex Slort，2020）。