◆欧几里得的方法

图1 古希腊数学家欧几里得。

大约在公元前300年，古希腊数学家欧几里得（图1）写过一本书，对几何学进行了系统的论述。直到今天，这本书还被我们学习运用。

对于现在的中学生来说，书中的很多定理都非常简单，但是在泰勒斯那个时代，还没有这些定理。而在测量金字塔高度的过程中，必须利用到其中的一些定理，也就是下面的这些三角形特性：

●等腰三角形的两个底角相等。反过来，如果三角形有两个角相等，那么这两个角的对边也相等。

●对于任意一个三角形，它的内角和等于180°。

泰勒斯发明的测量高度的方法，正是建立在三角形的这两个特性之上的。当影子的长度等于他的身高时，就说明太阳照向地面的角度正好等于直角的一半，也就是45°。这时候，金字塔的高度和影子的长度正好是一个等腰直角三角形的两条边，所以它们是相等的。

如果天气比较好，在太阳的照射下，大树便会有影子。这时，便可以利用这种方法来测量大树的高度。不过最好是独立的大树，否则树的影子会重合，不便于测量。

但是，如果是在纬度比较高的地方，这个方法并不是很好用。这是因为在这些地方，只有在夏天中午很短的一段时间里，影子的长度才会跟物体的高度相等。所以并不是所有的地方都可以使用这个方法。

不过，在这种地方，我们可以把这个方法改进一下，只要有影子就可以得到物体的高度。这时需要做的工作就是，先分别测量出物体的影子和自己的影子的长度，然后利用下面的比例关系计算出物体的高度，如图2所示。

图2

图3

AB∶ab＝BC∶bc

这个关系之所以成立，也是利用了几何学中的知识，如果三角形ABC和三角形abc相似，那么它们的对应边就是成比例关系的。

所以，物体的影子长度与身体的影子长度的比值，就等于物体的高度跟身高的比值。

你可能会疑惑，这么简单的道理还需要用几何学来证明吗？如果没有几何学，难道我们就没有办法得到物体的高度了吗？其实，事实就是这样的。

如图3所示，刚才的方法并不适用于路灯以及它所形成的影子。从图中可以看出，柱子AB的高度是矮木桩ab的3倍，但是它们的影子BC和bc却不是3倍的关系，而是差不多8倍的关系。

如果没有几何学，想要充分解释这个方法的原理，并且说明为什么这个方法在此行不通，是很难的。