1.6 重要数学定义和常用的引理

定义1-19 设，其中，A是m阶非奇异矩阵，D=CA-1B为M关于A的Schur补，记作M/A。

定义1-20 设F：[a，b]→ℝ是函数，定义右上Dini导数为

注1-2 若函数的导数存在，其右上Dini导数与导数相等。

定义1-21[119] 如果n阶矩阵A=（aij）满足条件aii＞0，aij≤0，i≠j，并且有下列条件之一成立：

1）A的所有特征值的实部都为正的。

2）A的所有主子式都是正的。

3）A的所有顺序主子式都是正的。

4）A的逆存在且为非负矩阵。

5）有正向量x，使Ax为正向量。

6）对实向量x，若Ax非负，则x非负。

7）若D=diag（A），C=D-A，B=D-1C，则ρ（B）<1，这里，ρ（B）为B的特征值的模的最大值（含绝对值），也称为B的谱半径。

8）B=λE-A为非负矩阵，其中，E为单位矩阵，λ>ρ（B）。

9）若B满足bii>0，bij≤0，i≠j，且bij≥aij，i，j=1，2，…，n，则B的逆存在。

则称A为Minkovski矩阵，或非奇异M-矩阵，简称M-矩阵。

注1-3 定义1-21中的条件1）～9）互相等价。另外，本书中的M-矩阵都是指非奇异的M-矩阵。

定义1-22 如果n阶矩阵A=（aij）存在向量d=（d1，d2，…，dn）T，使得

则称A为广义严格对角占优矩阵。

定义1-23 设X是一个非空集合，T是X到X中的映射，若果存在x*∈X，满足Tx*=x*，则称x*为映射T的不动点。

定义1-24 设（X，ρ）为度量空间，T是X到X中的映射，如果存在数α（0<α<1），使得对所有的x，y∈X，都有ρ（Tx，Ty）≤αρ（x，y），则称T是压缩映射，α称为压缩系数。

显然压缩映射为连续映射。1922年Banach（巴拿赫）给出压缩映射原理，也称为Banach不动点定理，是度量空间理论的一个重要工具。

引理1-1（Banach压缩映射原理）设（X，ρ）为完备度量空间，T是X到X中的映射，则T有唯一的不动点，即存在唯一的x*∈X，使得Tx*=x*。

注1-4 Banach压缩映射原理又称Banach不动点定理。完备度量空间是指该空间中的任何柯西序列都收敛在该空间之内。用内积导出的范数来定义距离，Banach空间就成为了希尔伯特空间。

引理1-2（Brouwer不动点定理）设D是ℝn中有界凸闭集，Φ：D→D连续，则Φ在D上必有不动点。

注1-5 Brouwer不动点定理可扩展到n维拓扑向量空间中闭凸体上的连续映射，并广泛应用于各种方程解存在性定理的证明。

引理1-3 对于任意a，b∈ℝ，ε＞0，则

εa 2+ε-1b2≥2ab

引理1-4 对于任意a，b∈ℝn，ε＞0，有

2aTb≤εaTXa+ε-1bTX-1b

和

2aTXb≤aTXa+bTX-1b

成立，其中矩阵X∈ℝn×n，且X＞0。

引理1-5 对于任意X，Y∈ℝn×n，P∈ℝn×n，且p＞0，ε＞0，有

X T Y +YTX≤εXTX+ε-1YTY

或

X T Y +YTX≤εXTPX+ε-1YTP-1Y

引理1-6[120] （Schur补定理）线性矩阵不等式

这里Q（x）=QT（x），R（x）=RT（x），等价于

R （x）＞0，Q（x）-S（x）R-1（x）ST（x）＞0

或

Q （x）＞0，R（x）-ST（x）Q-1（x）S（x）＞0

引理1-7（Jensen不等式）对任意正定矩阵Q＞0，标量γ＞0，向量函数ω：[0，γ]→ℝn，有

引理1-8（Young不等式）对于任意a，b∈ℝ，a＞0，b＞0，p≥1，则

ap -1 b≤（p-1）/pap+1/pbp