1.2 刚塑性有限元法

有限元数值模拟方法可用于求解金属变形过程的应力、应变、温度等的分布规律，进行模具受力分析，及预测金属的成形缺陷。根据金属材料的本构方程不同，有限元法可分为两大类：弹塑性有限元法和刚塑性有限元法。

刚塑性有限元法忽略了金属变形中的弹性效应，以速度场为基本量，形成有限元列式。刚塑性有限元法由于不考虑弹性变形问题和残余应力问题，因此计算量大大降低。在弹性变形较小甚至可以忽略时，采用刚塑性有限元法可达到较高的计算效率。

刚塑性有限元法是在1973年提出来的，这种方法虽然也基于小应变的位移关系，但忽略了材料塑性变形时的弹性变形部分，而考虑了材料在塑性变形时的体积不变条件。它可用来计算较大变形的问题，所以近年来发展迅速，现已广泛应用于分析各种金属塑性成形过程。刚塑性有限元法的理论基础是变分原理，它认为在所有动可容的速度场中，使泛函取得驻值的速度场是真实的速度场。根据这个速度场可以计算出各点的应变和应力。

对于大变形金属塑性成形问题，将变形体视为刚塑性体，即把变形中的某些过程理想化，便于数学上处理。此时，材料应满足下列假设：

1）不考虑材料的弹性变形。

2）材料的变形流动服从Levy-Mises（列维-米塞斯）流动法则。

3）材料是均质各向同性。

4）材料满足体积不可压缩性。

5）不考虑体积力与惯性力。

6）加载条件（加载面）给出刚性区与塑性区的界限。

在满足上述基本假设的前提下，刚塑性材料发生塑性变形时，必须满足下列基本方程。

微分平衡方程或运动方程：

σ_ij，j=0 （1-1）

式中 σ_ij，j——作用在任一质点j上的应力分量。

速度-应变速率关系方程：

式中 ——应变速率；

v_i，j——速度分量。

Levy-Mises应力-应变速率关系方程：

式中 dλ——瞬时非负比例系数。

假设材料符合Mises屈服准则，即：

式中 σ——材料的流动应力。

体积不可压缩条件：

边界条件：

力学边界条件σ_ijn_j=F

位移边界条件v_i=v_i （1-6）

变分原理是刚塑性有限元法构建和求解的基础，它根据力能泛函驻值时确定的真实速度场求解场变量。该理论可表述为：设塑性变形体体积为V，表面积为S，变形体表面S分为受力表面S_F和速度已知表面S_V。S_F上给定面力F_i，S_V上给定速度V_i，则在满足几何条件、体积不可压缩条件和边界条件的所有许可速度场中，使泛函：

式中 σ——等效应力；——等效应变速率。

泛函取极小值所得的速度场必须为满足要求的精确解。因此，对泛函取变分，并令其等于0，则有：

式（1-8）是一个有约束的泛函极值问题。利用该式，理论上可以求解金属塑性成形问题，但在实际塑性变形问题中，选择初始的运动学许可的速度场时，速度边界条件和几何条件容易满足，而体积不可压缩条件则难以满足。为此，人们采用各种方法将体积不可压缩这一约束条件引入泛函中，构造一个新的泛函，从而将上述有约束的泛函极值问题变成一个无约束的泛函极值问题，这就是刚塑性材料的广义变分原理。

根据处理方法的不同，刚塑性有限元法可分为罚函数法、拉格朗日（Lagrange）乘子法、体积可压缩法、泊松比接近0.5法和流函数法等，其中最常用的是前两种方法。

罚函数法是用一个大的正数α附加在体积不可压缩条件式上，作为惩罚项引入泛函，这样构成的泛函为：

式中 α——惩罚因子；

——体积应变速率。

其中惩罚因子α（一般为105～107）是一个很大的正数，用来表示对变形体体积变化的惩罚的强弱，它的取值是否合适直接影响到收敛速度，一个大的、正的α值可以保证体积应变率接近于零，从而得到一个高精度的解，但α值太大，会影响迭代的收敛，甚至得不到收敛解；而α值太小，又难以限制变形体的体积变化，产生不能接受的体积损失，必然会降低数值模拟的精度甚至使模拟结果完全失真。一般地，可以将体积应变速率限制在平均等效应变速率的10-4～10-3倍之内，这样对应的α为105～107。同时，从应力方面考虑，惩罚因子α的合理取值范围在数值上大约等于材料流动应力的103～104倍。罚函数法的未知数个数和方程都比拉格朗日法少，因此计算时占用的内存小，计算效率高，收敛速度快。罚函数法只能计算应力偏量S_ij，无法求得静水压应力σ_m，但可以证明：

拉格朗日乘子法是应用条件变分的概念，利用拉格朗日乘子将体积不可压缩条件引入泛函，得到一个无约束条件的新泛函，其形式为：

式中，拉格朗日乘子λ等于静水压应力σ_m，这样就可以通过式（1-12）计算应力场。

σ_ij=S_ij+λδ_ij （1-12）

利用拉格朗日乘子法可以很方便地求出应力分布，但在求解时每一个单元都要取一个拉格朗日乘子作为未知数，随着未知数个数和方程增加，计算时间变长，占用内存增大。

数值模拟软件DEFORM-3D中采用的方法为罚函数法，惩罚因子取106。