第一题
QUESTION 1
等边三角形ABC中，AD垂直于BC，M、N分别是AD和AC上的两点，且AM=CN，请问，当BM+BN最小时，∠MBN是多少度？
首先，这是一道与动点有关的题目。很多人碰到动点问题就犯怵，这可以理解。相较于确定和不变的东西，人们总是对不确定的、变化的东西心怀恐惧。而题目所要考察的往往是在变化中寻找和发现相对不变性的能力，这对许多人而言是一项比较高的要求。
对于这类动点问题，一般可以先考虑几个特殊情况，从而对问题有个初步的把握，以消除内心的部分恐慌。
在本题中，当AM=CN=0时，M与A重合，N与C重合，BM+BN=BA+BC，此时BM+BN取得符合要求的所有情况里的最大值。
而如果M与D重合，则此时BM取得最小值，但BN并不取得最小值。反之，如果N为AC的中点，此时BN取得最小值，但BM并不是最小值。
我的第一个思考是利用对称性，比如把BM转换成下面的CM，但这样CM和BN离得更远了。显然，这样的辅助线没什么效果。
这里就涉及作辅助线的一个基本原则：辅助线应该把题目中分散的条件最大程度地联系起来，最好是聚合起来，而不是让它们更分散。
怎么利用AM=CN这个条件？目前，这2条边在图中没什么直接关联，能不能让它们跑到一起，变成一个等腰三角形之类的？
基于这一想法，我想到了下面的旋转，即让△BCN绕B点逆时针旋转60°至△BAP的位置。此时可得：AP=CN=AM，∠PAB=∠NCB=60°，因此∠PAM=90°，从而△PAM为等腰直角三角形；同时，△BPN为等边三角形，BN=BP=PN，因此BM+BN=BM+BP。
这种作辅助线的方法确实把许多条件聚合到了一起。但问题在于P点依旧为动点，仍然不能解决BM+BN什么时候最小的问题。
2次正面尝试，都遭遇了挫折。这时，我不得不停下来，尝试从结论来思考一下这个问题。
为了让BN+BM最小，一般而言，我们需要下面这样的模式。也就是找到一个P点，使得PN=BM，这样BN+BM=BN+NP，从而，当B、N、P为一条直线时BN+BM取得最小值。当然，这有一个前提，也就是P点必须为定点！
为此，我们不妨先把BM搬到NP的位置，来逆向思考一下到底要作什么辅助线。
此时，如果我们连接PC，我们发现NP=MB，NC=MA，也就是△NCP和△MAB已经有两条边对应相等了。这一观察发现显然在引导我构造全等三角形。如果还有PC=BA，那么△PCN≌△BAM，此时应该有∠PCN=∠BAM=30°。
据此，我们就很容易得到下面的辅助线作法，即：作△PCN≌△BAM。由于∠PCN=∠BAM=30°，因此PC⊥BC，并且PC=BA为定长，这表明P点一定为定点。
从而，BM+BN=PN+BN。显然，当B、N、P三点共线时BM+BN取最小值。此时，△BCP为等腰直角三角形，∠NPC=∠PBC=45°。
由于△BAM≌△PCN，因此∠ABM=∠CPN=45°。
从而，∠MBN=45°+45°-60°=30°。
当然，上面的做法是把BM搬家，我们是否可以进一步思考一下：能不能把BN搬家呢？其实也行，我画了个示意图，大家可以自行体会。这种思考方式，蕴含着对称的思想。
所以你看，如果我直接把辅助线和答案写出来，那就少了点儿意思。你可能会觉得原来这么简单，也可能会惊呼：哇，昍爸你的灵感真好！但其实不然，我也是经过了挫折之后调整方向，才得到了正确的解法。而这个过程，涉及从条件出发和从结论出发两方面的推进。解题其实很多时候大都是这样，正着解题遇挫不妨反着再试试，两方面同时推进，最后胜利会师！