2.5 特征函数及其基本性质
本节主要介绍特征函数的定义、特征函数的性质、常用概率密度函数的特征函数、特征函数的应用、中心极限定理、利用特征函数求估计量的概率密度函数等。
2.5.1 一维特征函数
1．特征函数的定义
（1）离散随机序列的特征函数的定义：设一维离散随机序列x(k)∈R1的离散事件概率为P{X=x(k)}=pk，则该离散随机序列的特征函数为
（2.5.1）
（2）连续随机变量的特征函数的定义：设一维随机变量x∈R1的概率密度函数为f(x)∈R1，则该随机变量的特征函数φx(k) 定义为核函数eikx的期望值。
（2.5.2）
随机变量x的特征函数的本质是随机变量x的概率密度函数f(x) 的Fourier变换。任何概率密度函数都存在特征函数。
例2.5.1 设随机变量X服从退化分布，即
求该随机变量X的特征函数。
由离散随机序列的特征函数的定义
有
（2.5.3）
例2.5.2 设随机变量X服从参数为p的0-1分布（两点分布），求其特征函数。
由
可得
（2.5.4）
例2.5.3 设随机变量X服从参数为n,p的二项分布，求其特征函数。
由离散随机序列特征函数的定义可得
（2.5.5）
例2.5.4 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，求其特征函数。
由离散随机序列特征函数的定义可得
（2.5.6）
例2.5.5 设随机变量X服从[−a,a] 均匀分布，求其特征函数。
服从[−a,a] 均匀分布的随机变量的概率密度函数为
根据连续随机变量特征函数的定义，当t≠0 时，有
（2.5.7）
当t=0 时
例2.5.6 设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求其特征函数。
根据连续随机变量特征函数的定义，有
（2.5.8）
2．特征函数与概率密度函数的关系
已知一维随机变量x的概率密度函数f(x) ，人们往往关心其特征值（如均值、方差）。特征值提供了概率密度函数最重要的信息，但不能确定概率密度函数的所有性质。特征函数与概率密度函数是一一对应的。概率密度函数由特征函数的反Fourier变换唯一确定。
（2.5.9）
也就是说，概率密度函数f(x) 与其特征函数φx(k) 是等价的。
3．特征函数的性质及证明
1）特征函数的性质
（1）φx(0)=1
（2）|φx(k)|≤1
（3）
（4）若y=ax+b，其中a,b为常数，则
（5）独立随机变量和的特征函数为各变量特征函数的积，即设x,y独立，则
（6）若E{xl} 存在，则φx(t) 为l次可导，并且对1≤m≤l，有
2）部分特征函数性质的证明
性质（5）：独立随机变量和的特征函数为各变量特征函数的积，即设x,y独立，则
（2.5.10）
证明：由于x与y之间是相互独立的，因此，eikx与eiky之间也是相互独立的，从而有
（2.5.11）
可以推广到n个独立随机变量之和z=x1+x2+⋯+xn的特征函数，即
（2.5.12）
本性质（5）证毕。
利用反Fourier变换可求出随机变量z的概率密度函数：
（2.5.13）
性质（6）：若E{xl} 存在，则φx(t) 为l次可导，并且对1≤m≤l，有
（2.5.14）
证明：因为E{xl} 存在，所以有
。
于是含参数变量k的广义积分
（2.5.15）
可以对m求l次导数。
所以，对0≤m≤l，有
（2.5.16）
令k=0 ，即可得到
本性质（6）证毕。
4．常用概率密度函数的特征函数（表2.5.1）
表2.5.1 常用概率密度函数的特征函数
5．特征函数的应用
既然概率密度函数与特征函数是一一对应的，为什么还要引入特征函数呢？这是因为很多问题直接用概率密度函数不易处理，而利用特征函数进行处理就非常方便。
1）求均值和方差（以高斯分布为例）
设正态随机变量x的特征函数为
（2.5.17）
（1）求取均值。
（2.5.18）
（2）求取方差。
（2.5.19）
类似地，可以很容易求出各阶中心矩。
2）求概率密度函数的极限（以二项分布为例）
特征函数为
（2.5.20）
取极限p→0和N→∞，ν=pN为常数。
（2.5.21）
即二项分布在实验次数很多且均值保持不变时，趋向于泊松分布。同样可以证明ν很大时，泊松分布趋向于高斯分布。
3）求独立随机变量之和的概率密度函数
假设有两个独立的高斯随机变量x和y，均值为μx和μy，方差为
和
，则z=x+y的特征函数为
（2.5.22）
这正是均值μz=μx+μy，方差
的高斯分布的特征函数。
同样可证泊松变量之和仍服从泊松分布。
4）中心极限定理
定理2.5.1：假设有n个独立随机变量xj，均值与方差分别为μj和
。在大n极限下，
为高斯随机变量，均值和方差分别为
和
。
证明：定义
则有
将yj的特征函数ϕj(k) 进行泰勒展开：
（2.5.23）
在大n极限下，忽略高阶项，可得
（2.5.24）
再定义
则z′的特征函数为
（2.5.25）
即z′为均值为0，方差为σ2/n的高斯分布。变换回
，则z为均值为
，方差为σ2的高斯分布。
n有限时，中心极限定理成立的条件是每个xj的贡献都很小，即z由大量微小贡献组合而成。
例如，很多地方经常用12个(0,1]均匀分布的随机变量之和来近似高斯分布。
（2.5.26）
如果某个或某几个xi的贡献非常大，则求和的结果将明显偏离高斯分布。
5）求估计量的概率密度函数
（1）以指数分布
（2.5.27）
为例。其参数ξ的最大似然估计量为
其分布可以用特征函数法求得。
由于ϕx(k)=1/(1−ikξ) ，所以
（2.5.28）
的特征函数为
通过反Fourier变换可得到z的概率密度函数：
（2.5.29）
（2.5.30）
这是伽马分布，在n很大时趋向于高斯分布。
（2）要求取寿命
的平均值，可以采用如下方式：
（2.5.31）
也可以利用概率密度函数进行积分来求取：
（2.5.32）
（3）对于λ=1/τ的最大似然估计量
，求取其期待值：
可以先求
的分布函数：
（2.5.33）
再用该函数求取期待值：
（2.5.34）
可以看出
不是无偏估计量。
（4）求估计量期待值的置信区间。利用特征函数法求出估计量（如
）的概率密度函数。有了估计量的概率密度函数（如
），很多问题都可以方便地进行处理，如求取置信区间。
对于给定的α,β以及观测值
，通过
（2.5.35）
（2.5.36）
求得置信区间[a,b]。
2.5.2 二维随机变量的特征函数
1．定义
连续型：设(X,Y)是一个二维随机变量，其分布函数为F(x,y) ，x,y∈R1t1,t2为任意实数，记
（2.5.37）
称φ(t1,t2) 为(X,Y)的特征函数。
离散型：
（2.5.38）
其中，P(r,s)=P{X=r,Y=s} 。
设有n维随机变量
则称
（2.5.39）
为n维随机变量(X1,X2,⋯,Xn) 的特征函数。
2．二维随机变量特征函数的性质
性质1：设随机变量(X,Y) 的特征函数为φ(t1,t2) ，则有
（1）φ(0,0)=1 ，并且对任意t1,t2∈R，有|φ(t1,t2)|≤φ(0,0)=1 ；
（2）
；
（3）φ(t1,t2) 于实平面上一致连续；
（4）φ(t1,0)=φ(t1) ，φ(0,t2)=φ2(t2) 。其中，φ1(t1),φ2(t2) 分别为Ｘ和Ｙ的特征函数。
性质2：设a1,a2,b1,b2皆为常数，(X,Y) 为二维随机变量，则随机变量(a1X+b1,a2Y+b2) 的特征函数为
。
性质3：两个二元分布函数恒等的充分必要条件是它们的特征函数恒等。
性质4：设随机变量(X,Y) 的特征函数为φ(t1,t2),a1,a2,b为任意常数，则Z=a1X+ a2Y+b的特征函数为
（2.5.40）
定理2.5.2：随机变量(X,Y) 服从二维正态分布的充分必要条件是X与Y的任一线性组合
aX+bY+c
服从一维正态分布。其中，a,b,c为任意常数，且a,b不全为0。
3．相互独立随机变量的特征函数
定理2.5.3：n个随机变量相互独立的充分必要条件为(X1,X2,⋯,Xn) 的特征函数满足
（2.5.41）
推论2.5.1：设X1,X2,⋯,Xn为n个相互独立的随机变量，令
，
，则Y和Z的特征函数分别为
（2.5.42）
注：对x,y∈Rn，也有类似描述。