1.6 代数数论之鼻祖
数论早期被称为算术,直到20世纪初数学家才开始使用数论这个名称。19世纪的英国数学家史密斯说:“算术是人类知识中最古老,也许是最最古老的一个分支,然而它的一些最深奥的秘密与最平凡的真理是密切相连的。”
代数数论是数论的主要研究方向之一。将整数拓展到代数方程的根,从而得到所谓的“代数整数”。诸多整数问题的解决,如不定方程的求解等,在很大程度上要借助对代数整数的研究。代数数论的主要任务是研究代数整数及与之相关的代数结构,包括代数数域等。
纵观几千年的数学史,大部分数学家的工作都可以看作对前人理论的继承和发展,只有极少数数学家因其研究所具有的深刻性和独创性,能够作为某一数学领域的开创者而被人们铭记。在今天要谈到的代数数论领域中,如果一定要选出一位“鼻祖”的话,最接近这一称号的人应该是库默尔。
1810年1月29日,埃内斯特·爱德华·库默尔出生于德国索劳,他的父亲是一位医生。时年正值法兰西第一帝国皇帝拿破仑雄霸欧洲,但谁能想到,仅仅4年之后,拿破仑进攻俄国失败,而后接连失利,最终不得不投降退位。和当时的许多欧洲人一样,库默尔的人生也深受这位法国皇帝的影响。仓皇逃离俄国的法国败军在经过德国时留下了从莫斯科带回来的斑疹伤寒这一急性传染病。库默尔的父亲在救治病人的过程中因不幸感染而去世,把他和哥哥两兄弟留给了寡妻来照顾,当时库默尔只有3岁。
库默尔
库默尔的母亲是一位勇敢坚强的女性。在失去丈夫的艰难贫困的生活中,她辛勤地工作,独自一个人照顾家庭,并竭力让自己的两个儿子完成了中学学业。库默尔深受母亲的影响,性格单纯乐观,为人直率幽默,做事严谨认真。这造就了库默尔日后的典型老派德国人的作风。同时,源于对父亲的思念以及从小感受到的法国占领军的傲慢与压迫,库默尔在自己的一生中一直都有着无限的爱国热忱。后来为了帮助德国培养军官,他甚至在柏林军事学院担任过弹道学教员,他的许多学生在普法战争中都有不俗的表现。
18岁时,库默尔进入哈雷大学学习,最开始选修的专业是神学。与解析几何的创始人笛卡儿相似的是,库默尔也是在学习神学的过程中发现了自己在抽象思维方面的才能,进而转修数学的。当时,哈雷大学有一位数学教授舍尔克,他把自己在代数和数论方面的热情传递给了年轻的库默尔。在大学学习结束后,库默尔回到利戈尼茨的一所中学(他的母校)教书。在作为中学数学教师的10年里,库默尔和包括雅可比在内的许多杰出的数学家保持通信联系,这也深刻地影响了他的学生、当时还在读大学预科的克罗内克。1842年,库默尔被推荐为布雷斯劳大学数学教授,然后他开始研究数论。正是在这个领域,库默尔取得了最大的成功。
这一切都要追溯到对费马关于xn+yn=zn的断言做出证明。前面已经叙述过17世纪的法国数学家费马在学习丢番图的《算术》一书时,在页边空白处写下了今天被称为“费马大定理”的一个命题,即当n>2时,不存在非零正整数x,y和z,使方程xn+yn=zn成立。18世纪,n=3,4,5的情形已经由欧拉等人给出了证明。到了19世纪,高斯试图证明n=7时的情形,但失败并放弃了。他甚至认为此命题“不可能被证明,也不可能被否定”。此后30年间,虽有一些结果,如拉梅在加限制条件的情况下解决了n=7的问题,狄利克雷证明了n=14的论断,但一般情形始终没有被证明。接力棒被交到了库默尔的手中,接下来我们讲一讲他的创造性工作。
先补充一些基本概念。在代数数论中,称1,2,3,…这样的数为有理整数。任意有理整数m显然都是一个一次代数方程x-m=0的根。借助一次或更高次代数方程的根,可以把整数的概念推广开来。设r是n次代数方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0的一个根,其中系数ai是有理整数,且r不为任意小于n次的整系数代数方程的根。若最高次项的系数an=1,那么就称r为一个n次代数整数;若放宽要求到an≠0,则称r为一个n次代数数。例如,因为
满足方程x2-2x+6=0,所以是一个二次代数整数。设r是一个n次代数数,则称由r通过加减乘除构造出来的所有表达式为由r生成的代数数域,记为F[r]。可以证明F[r]中的每个元素仍为次数不大于n的代数数,因此也称这样的F[r]为一个n次代数数域。
库默尔在思考费马大定理时,把xp+yp分解成:
(x+y)(x+αy)…(x+αp-1y)
其中,p为素数,α是一个p次复单位根。这就是说αp=1,并且对于正整数n<p, 有αn≠1。可以证明,α是αp-1+αp-2+…+α+1=0的一个根,且不满足小于(p-1)次的整系数代数方程。因此,α是一个n次代数整数,并且由上面的因式分解可知xp+yp是代数数域F[α]中的数的乘积。
高斯考虑过上面由p次复单位根生成的代数数域F[α],称其为p次分圆域。他将素数的概念推广到代数数域F[α]中,得到所谓的素代数整数。库默尔在最初的时候曾错误地认为F[α]中由素代数整数给出的因子分解如同整数中的素因子分解一样是唯一的,进而给出了费马大定理的有疏漏的证明。狄利克雷向他指出,仅仅对于部分素数的情形,F[α]中的唯一因子分解才是成立的。我们把这个问题放到更一般的代数数域中进行解释。例如,考虑由
生成的代数数域,其中a和b为有理整数。可以看到:
式中的4个因子都是素代数整数,此时唯一因子分解是不成立的。
库默尔稍后修正了自己的错误,其解决办法是在素代数整数的基础上引入更加细化的因子——理想数。他在1844年开始发表的一系列论文中创立了理想数理论。理想数可以看作一个代数数域的基本构件,本身不能再进行真因子分解,而且可以构造代数数域中的其他数。上面的例子考查了6在由生成的代数数域中的因子分解,可以引入理想数
,
,
。这样6就能唯一地被表示成理想数的乘积,并且通过理想数,此域中其他数的因子分解也是唯一的。这样,库默尔就在相当广泛的一类素数次分圆域上重建了唯一分解定理,进而针对这些素数的情形证明了费马大定理。
库默尔的结果在当时是非常了不起的成就,远远超出了前辈们做出的工作。他几乎不由自主地成了当时学界的名人,甚至被法兰西科学院授予了一项他并没有去竞争的大奖。他的后继者、高斯的学生戴德金正是受到库默尔的理想数的启发,提出了理想的概念,并进一步创立了现代代数数论。
1855年,“数学王子”高斯的去世引起了欧洲数学界大范围的变动。狄利克雷接替了老师在哥廷根大学的教授职位,成为了“高斯的继任者”,而库默尔被代数学同事们推举为狄利克雷在柏林大学的继任者。
库默尔是科学天才中的佼佼者,他无论是在高度抽象的理论研究领域还是在应用科学方面都非常杰出。虽然库默尔最成功的工作是在数论方面,但他在函数论和几何学方面也做出了许多非常重要的发现。他给出的以自己的名字命名的四次曲面在欧几里得空间的几何学中起了重要作用;他发展了高斯的超几何级数的工作,在今天数学物理中经常出现的微分方程理论中十分有用。他甚至在大气对光的反射这一光学问题的研究中也做出了重要贡献。在柏林军事学院任教期间,库默尔是第一流的弹道学实验者,这与他的数学家身份的反差巨大。对此,他以特有的幽默说道:“当我用实验去解决一个问题时,就说明这个问题在数学上是很难解决的。”
库默尔的品格比他的才能更加令人钦佩。他记得自己为了受教育所做的奋斗和他的母亲做出的种种牺牲,因此始终无私地对待自己的学生和朋友。许许多多年轻人在人生旅途中得到过库默尔的帮助。他无偿资助贫穷的年轻数学家,深刻而富有哲理地教导他的学生。他无比热爱和珍惜他所拥有的生活,他的恬静和蔼与豁达幽默甚至让人产生一种错觉:尽管库默尔一生成就辉煌,但他似乎没完成他能够做到的一切。
在人生的最后9年里,库默尔完全处于隐居状态,有家人陪伴,偶尔去年少时去过的地方旅行。1893年5月14日,库默尔去世,终年83岁。