1.2 数制

人们在日常生活中经常遇到计数问题，并且习惯于用十进制数。而在数字系统，例如计算机中，通常采用二进制数，有时也采用十六进制数或八进制数。这种多位数码的构成方式以及从低位到高位的进位规则称为数制。

1.2.1 十进制

人们在日常生活中习惯以10为基数的计数体制。十进制计数体制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数码来表示，其计数规律是“逢十进一”。

十进制数4587.29可以表示为

（4587.29）₁₀=4×103+5×102+8×101+7×100+2×10-1+9×10-2

式中，103、102、101、100、10-1和10-2分别为各数码的权值。一般任意十进制数用下标10或D（Decimal）来表示，如式（1.2.1）所示。

式中，K为基数“10”的第i次幂的系数，它可以是0～9中任何一个数字。

如果将式（1.2.1）中的10用字母R来代替，就可以得到任意进制数的表达式，如式（1.2.2）所示。

用数字电路来存储或处理十进制数是不方便的。因为构成数字电路的基本思路是把电路的状态与数码对应起来。而十进制的十个数码要求电路有十个完全不同的状态，这样使得电路很复杂，因此在数字电路中不直接使用十进制数。

1.2.2 二进制

二进制计数体制中，只有0和1两个数码，其计数规律是“逢二进一”，即1+1=10（读为“壹零”），这里的“10”与十进制数的“10”是完全不同的，它并不代表数“拾”，左边的“1”表示21系数，右边的“0”表示20系数，二进制数用下标2或B（Binary）表示，二进制数10表示为（10）₂=（10）_B=1×21+0×20，因此，二进制就是以2为基数的计数体制。

任意二进制数的表示如式（1.2.3）所示。

式中，K_i为基数“2”的第i次幂的系数，它可以是0或1。式（1.2.3）也可以作为二进制数转换为十进制数的转换公式。

例1.2.1 将二进制数1010110.01转换为十进制数。

解：将每1位二进制数与其位权相乘，然后相加，便得相应的十进制数。

（1010110.01）₂=1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+1×21+0×20+0×2-1+1×2-2=（86.25）₁₀

与十进制相比较，二进制具有以下优点，因此，它在计算机技术中被广泛采用：

1）二进制的数字电路装置简单可靠，所用元件少。

二进制只有两个数码0和1,因此它的每1位数都可用任何具有两个不同稳定状态来表示，例如，半导体开关器件的饱和与截止，继电器触点的闭合和断开，灯泡的亮和不亮等。只要规定其中一种状态表示1，另一种状态则表示0,就可以表示二进制数。这样，数码的存储、分析和传输，就可以用简单而可靠的方式进行。

2）二进制的基本运算规则简单，运算操作方便。

采用二进制也有一些缺点。用二进制表示一个数时，位数多，例如，十进制数49表示为二进制数时，即为110001，使用起来不方便也不习惯。因此，在运算时原始数据多用十进制数，在用数字系统处理时，需要将十进制原始数据转换成数字系统能接受的二进制数。而在运算结束后，再将二进制数转换为十进制数表示最终结果。

1.2.3 十-二进制之间的转换

十进制数转换成其他进制数的整数转换，采用基数连除法。把十进制整数N转换成R进制数的步骤如下：

1）将N除以R，记下所得的商和余数。

2）将上一步所得的商再除以R，记下所得商和余数。

3）重复做第2）步，直到商为0。

4）将各个余数转换成R进制的数码，并按照和运算过程相反的顺序把各个余数排列起来，即为R进制的数。

十进制小数转换成其他进制小数时，采用基数连乘法。把十进制小数m转换成R进制数的步骤如下：

1）将m乘以R，记下所得的积，取出积的整数部分，小数部分待用。

2）将上一步所得的小数值再乘以R，取出所得积的整数部分，小数部分待用。重复该过程直到积的小数部分为0，或达到有要求的准确度为止。

3）按照运算过程的顺序把各步骤中的整数排列在小数点后，即为R进制的小数。

例1.2.1介绍了二进制数转换为十进制数的方法。十进制数转换为二进制数时，整数部分和小数部分的方法不同，下面分别介绍。

1.十进制数的整数部分转换为二进制数的方法

将十进制数整数每除以一次2，就可以根据余数得到二进制的1位数字，因此，只要连续除以2直到商为0。

例1.2.2 将十进制数37转换为二进制数。

解：将十进制数37每除以一次2，得到的余数和商如图1.2.1所示。

由上可得：（37）₁₀=（100101）₂

当十进制数较大时，不需要逐次除以2，而是将十进制数和与其相当的2乘幂项对比，使转换过程简化。

2.十进制数的小数部分转换为二进制数的方法

将十进制小数乘以2，可以得到2-1的系数b_-1，将十进制小数每次除去上次所得积中的整数，再乘以2，直到满足误差要求继续“四舍五入”为止。

例1.2.3 将十进制数小数0.706转换为二进制数，要求其误差不大于2-10。

解：按上面的方法计算，可得b_-1、b_-2、b_-3、…、b_-9，如图1.2.2所示。

由于最后的小数小于0.5，根据“四舍五入”的原则，b_-10应为0，所以由上可得：（0.706）₁₀=（0.101101001）₂，其误差小于2-10。

1.2.4 十六进制

用二进制数来表示十进制数需要的位数较多，不便于书写和记忆，因此，在数字计算机中常采用十六进制数或八进制数来表示。

十六进制是以16为基数的计数体制。十六进制计数体制有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A（10）、B（11）、C（12）、D（13）、E（14）、F（15）十六个数码，其计数规律是“逢十六进一”。十六进制数用下标16或H（Hexadecimal）表示，任意十六进制数的表示如式（1.2.4）所示。

（BD2.3C）₁₆=B×162+D×161+2×160+3×16-1+C×16-2=11×162+13×161+2×160+3×16-1+12×16-2

例1.2.4 将十六进制数2A.8转换成十进制数。

解：（2A.8）₁₆=2×161+10×160+8×16-1=32+10+0.5=（42.5）₁₀

例1.2.5 将十六进制数4E2转换为十进制数。

（4E2）₁₆=4×162+14×161+2×160=（1250）₁₀

例1.2.6 将十六进制数F25.6转换为二进制数。

解：将每位十六进制数用4位二进制数代替，即得相应的二进制数，当第1位和最后1位为0时，0可以不写。

（F25.6）₁₆=（1111 0010 0101.011）₂

例1.2.7 将二进制数10110011011.01001转换为十六进制数。

解：从小数点分别向左右将4位二进制数分为1组，小数点左边不足4位的在前面加0，小数点右边不足4位的在后面加0，每4位分别用相应的十六进制数代替即可。

（101 1001 1011.01001）₂=（0101 1001 1011.0100 1000）₂=（59B.48）₁₆

1.2.5 八进制

八进制是以8为基数的计数体制。八进制计数体制有0、1、2、3、4、5、6、7八个数码，其计数规律是“逢八进一”。八进制数用下标8或O（Octal）表示，任意八进制数的表示如式（1.2.5）所示。

（752.34）₈=7×82+5×81+2×80+3×8-1+4×8-2

例1.2.8 将八进制数315.4转换为十进制数。

解：（315.4）₈=3×82+1×81+5×80+4×8-1=（205.5）₁₀

例1.2.9 将八进制数315.6转换为二进制数。

解：将每位八进制数用3位二进制数代替，即得相应的二进制数，当第1位和最后1位为0时，0可以不写。

（315.6）₈=（011 001 101.110）₂=（11 001 101.11）₂

例1.2.10 将二进制数10110011011.01001进制数转换为八进制数。

解：从小数点分别向左右将3位二进制数分为1组，小数点左边不足3位的在前面加0，小数点右边不足3位的在后面加0，每3位分别用相应的八进制数代替即可。

（10110011011.01001）₂=（010 110 011 011.010 010）₂=（2633.22）₈

几种数制之间的关系如表1.2.1所示。