1.1.3 数制和码制

一、数制

数制就是计数的法则。在日常生活中，人们习惯采用十进制数。二进制数有时表示起来不太方便，位数太多，所以有时也采用八进制数或十六进制数。当然，任何一个数都可以用不同的进位制来表示。

1.十进制数

十进制全称十进位计数制，是人们日常工作和生活中最熟悉、最常用的数制。例如，一个十进制数(2136)10，下标10表示此数为十进制数，即该数制的基数为10。

即

(2136)10= 2×10 3+ 1×10 2+ 3×10 1+ 6×10 0

十进制也常用字母D来表示，如十进制数305也可表示为(305)D。

2.二进制数

二进制数(1011)2，下标2表示此数为二进制数，即该数制的基数为2。

即

(1011)2= 1×2 3+0×2 2+1×2 1+1×2 0

二进制也常用字母B来表示，如二进制数1011也可表示为(1011)B。

3.八进制数

八进制数(16)8可以写成

(16)8= 1×81+ 6×80

八进制也常用字母O来表示，如八进制数567也可表示为(567)O。

4.十六进制数

十六进制数的计数规律为逢十六进一，其中数值取0,1,2,…,8,9,A,B,C, D,E,F这16个数字和字母之一。例如，一个十六进制数7E6B可以写成

(7E6B)16= 7×163+ E×162+ 6×161+ B×160

十六进制也常用字母H来表示，如十六进制数A13也可表示为(A13)H。

二、不同数制的数之间的相互转换

1.二进制数转换成十进制数

将二进制数转换成十进制数时，可将二进制数写成多项式的形式，按加权系数展开相加即可。例如，将二进制数1011转换成十进制数：

(1011)B= 1×23+0×22+1×21+1×20= 8+2+1 = (11)D

2.十进制数转换成二进制数

十进制数转换成二进制数时，采用基数除法（除二取余法），十进制数除二进制数的基数2，第一次所得余数为二进制数的最低位，把得到的商再除以基数2，所得余数为二进制数的次低位，以此类推，直至商为0时，所得到的余数为二进制数的最高位，故此法叫作除二取余法。

【例1.1.1】 将(14)D转换成二进制数。

解：

余数

14÷2=7……0　 最低位

7÷2=3……1

3÷2=1……1

1÷2=0……1　 最高位

得

(14)D= (1110)B

3.各种数制的数之间的相互转换

【例1.1.2】 完成八进制数对其他进制数的转换：(317)O=(______)H=(______)B=(______)D。

解：步骤一：八进制数转换成二进制数（方法：将八进制数每个数位上的数分别用三位二进制代码表示）。

步骤二：二进制数转换成十六进制数（方法：首先将步骤一中转换完成的二进制数从最低位往最高位依次数4位，不够4位的填0补充，然后将每4位二进制数分别用一位十六进制代码表示）。

步骤三：用二进制数、八进制数或十六进数制完成对十进制数的转换。

所以，。

【例1.1.3】 完成十六进制数对其他进制数的转换：(A36) H=(______)O=(______)B=(______)D。

解：步骤一：十六进制数转换成二进制数（方法：将十六进制数每个数位上的数分别用4位二进制代码表示）。

步骤二：二进制数转换成八进制数（方法：首先将步骤一中转换完成的二进制数从最低位往最高位依次数3位，不够3位的填0补充，然后将每3位二进制数分别用一位八进制代码表示）。

( 101 000 110 110 )B=( 5066 )O

步骤三：用二进制数、八进制数或十六进制数完成对十进制数的转换。

所以，。

三、码制

计算机日常处理的信息除了数值信息外，还有文字、符号及一些特定的操作（例如表示确认的回车操作）等。为了处理这些信息，计算机必须将这些信息用二进制数来表示。为了便于记忆和查找，这些用来表示数、字母和符号的二进制数必须遵循一定的规则，这个规则就是码制。这些特定的二进制数称为这些信息的代码，这些代码的编制过程称为编码。

1.码制的类型

现在常用的编码类型有 BCD 码，可自动纠错、校正的可靠性编码（如奇偶检验码）及字符代码（如美国标准信息交换码 ASCII 码）。计算机先将输入的信息符号按一定的规则翻译成由0和1组成的二进制编码，再对二进制编码进行处理，最后将处理结果还原成人们可以识别的符号，输出相应的信息。目前，计算机内部普遍使用的信息编码是 ASCII码。标准ASCII码由7位二进制数组成，用来表示26个英文字母及一些特殊符号。

2.十进制数的二进制编码

数字电子计算机除了可以将十进制数转换成二进制数参加运算外，还可以直接将十进制数以二进制数的形式进行输入和运算，这样可以减少计算机的计算次数，提高计算机的运行速度。其方法是将十进制的10个数字符号分别用4位二进制代码来表示，这种编码称为二进码十进数，也称BCD（Binary Coded Decimal）码。BCD码有很多种形式，常用的有8421码、2421码、5421码、余3码、格雷（Gray）码等，如表1.1.1所示。

（1）8421码。BCD 码可以分为有权码和无权码。所谓有权码，即4位二进制代码中每一位数都有固定数值的权。有权码中用得最多的是842l BCD码，该码共有4位，其位权值从高位到低位分别为8、4、2、l，故称8421码，它属于恒权码，每个代码的各位数值之和就是它表示的十进制数。842l码与十进制数之间的关系是4位二进制代码表示1位十进制数。如

(8)D=(1000)8421BCD　　 (69)D=(01101001)8421BCD

（2）2421码与5421码。2421码也是一种有权码，也属于恒权码。该码从高位到低位的权值分别是2、4、2、1，也是4位二进制代码表示1位十进制数。对于5421码，从高位到低位的权值分别是5、4、2、1。

（3）余3码。余3码组成的4位二进制数，正好比它代表的十进制数多3，故称余3码。两个余3码相加时，其和要比对应的十进制数之和多6。余3码不能由各位二进制数的权值来决定某代码的十进制数，故属于无权码。

（4）格雷码。格雷码的特点是相邻两个代码之间仅有一位不同，其余各位均相同。计数电路按格雷码计数时，每次状态更新仅有一位代码变化，减少了出错的可能性。格雷码也属于无权码。