1.3.2 逻辑代数的基本定理

一、代入定理

代入定理是指在任何一个包含逻辑变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑表达式代入式中所有A的位置，则等式依然成立。

利用代入定理很容易把表1.3.1和表1.3.2中的常用公式推广为多变量的形式。

【例1.3.2】 将摩根定律推广为三变量的应用情况。

解：已知二变量的摩根定律之一为

现将(BC)代入等式左边B的位置，于是得到

思考：如何将推广为三变量的应用情况？

此外，在对复杂的逻辑式进行运算时，仍需要遵守与普通代数一样的运算优先顺序，即先算括号里的表达式，再进行与运算，最后进行或运算。

二、反演定理

对于任意一个逻辑式Y，若将其中所有的“∙”换成“+”,“+”换成“∙”,0换成1,1换成0，原变量换成反变量，反变量变成原变量，得到的结果就是。这就是所谓的反演定理。

反演定理主要应用于求已知逻辑表达式的反逻辑式。在使用反演定理时还需注意以下两个原则。

（1）仍需遵守“先括号、然后与、最后或”的运算优先顺序。

（2）不属于单个变量上的反号应该保留不变。

表1.3.1中的式8和式18只不过是反演定理应用的特例，正是由于这个原因，摩根定律又称为反演律。

【例1.3.3】 已知Y=A(B+C)+CD，求。

解：

三、对偶定理

对偶定理是指若两个逻辑表达式相等，则它们的对偶式也相等。

对于任何一个表达式Y，若将其中的“∙”换成“+”,“+”换成“∙”,0换成1,1换成0，得到一个新的表达式Y′，这个Y′就是 Y 的对偶式。例如：若，则；若，则。

根据对偶定理可知，要证明两个逻辑表达式相等，可以通过证明它们的对偶式相等来完成。

【例1.3.4】 试证明A+BC=(A+B)(A+C)。

解：首先写出等式两边的对偶式，即

A(B+C)和AB+AC

显然这两个对偶式是相等的，也就是说需要证明的等式是成立的。

仔细分析表1.3.1可知，其中式1和式11、式2和式12、式3和式13、式4和式14、式5和式15、式6和式16、式7和式17、式8和式18均互为对偶式，因此只要证明了式1到式8成立，则式11到式18也是成立的。