期权交易理论

这里我们将简单总结期权定价和对冲的理论。更多的细节请参见我的另一本书《波动率交易：期权量化交易员指南》。

期权定价模型应包括以下变量和参数：

► 标的资产价格和行权价格，这决定了期权的内在价值。

► 期权期限。

► 任何与持有期权或者标的资产有关的因素，包括股息、借贷利率、持仓成本和利率。

► 波动率或者其他能够量化未来不确定性的指标。

一个不必要的变量是标的资产预期收益。显然，标的资产收益对于期权收益是重要的，但是它和期权即时价值无关。如果包含了这一漂移项，将会形成矛盾。假设预期标的资产价格将会上涨，意味着认购期权价值将会更高。但是认沽认购平价关系意味着，认购期权价格的上涨会导致相同行权价格的认沽期权价值也会上涨。类似情形也适用于熊市。认沽认购平价关系足以说明标的收益与当前期权价格无关，但是（也许没那么明显）这种无关也可能是动态复制导致的。

这并不是期权独有的异常情形。在很多情形下，人们认同未来的价格变化，但却不影响当前的价格。例如，法拉利会认为其汽车的长期价值是高于厂商建议零售价（MSRP）的。但是它现在就可以造车然后靠卖车来获利。作为厂商，它靠复制价值就保证获利，而不必考虑未来价格变动。同理，做市商也可以不考虑标的资产收益来复制期权价格。如果它们考虑了标的资产收益，它们还可能被其他人套利。

经典的期权定价模型是BSM模型。为了简化，忽略利率，认购期权价格C的BSM偏微分方程是

其中S是标的资产价格，σ是标的资产波动率，t是期权到期前的时间。

或者使用标准定义，Γ是期权价格对标的资产价格的二阶偏导，θ是期权价格对时间的导数。

在特定期权的损益条件下，就可以用标准的数值或者分析方法求解。

Γ和θ的关系对于理解如何利用期权获利至关重要。假设我们买入认购期权，标的股票价格从S_t变到S_t+1。Delta损益就是期初Delta（∆）和期末Delta的平均值乘以标的资产的价格变化。

如果期权期初是Delta中性的，则损益是

注意到

因此，在每个时间区间内的对冲收益为

尽管式（1-6）的等式只是渐近正确的，但如果我们使用价格变化的极小值，那么推导就是精确的。

这是BSM微分方程的第一个形式。BSM认为由于Gamma产生的再平衡收益等同于期权的Theta，即预期的（价格）变动抵消了时间损耗。方向中性的期权头寸只有当期权（支配Theta的）隐含波动率与（决定再平衡收益的）标的资产已实现波动率不同时，才能获利。不管期权结构和对冲机制如何，这都是适用的。

如果我们可以识别波动率不一致的情形，那么期权头寸的预期收益将是

这是期权交易的基本方程。所有的“时间衰减”和“Gamma交易”（Gamma scalping）的损益都在这个关系式中呈现。

还要注意的是Vega损益会影响到期权的方向性交易。如果我们为期权支付错误的隐含波动率，我们可能仍会获利，但还不如通过标的资产复制期权。

BSM模型依赖于一系列金融和数学假设：

► 标的资产是可交易的。

► 存在单一的无风险利率。

► 标的资产可以卖空。

► 卖空收益可以按无风险利率再投资。

► 所有现金流按照相同税率征税。

► 标的资产收益是连续的，并且按固定波动率形成正态分布。

交易员设计了非常多的变通方案来处理这些限制性假设（参见附录A），其中最重要的是隐含波动率曲面的概念。如果BSM模型是精确的描述性理论，那么标的资产所有期权的波动率都相同。事实并非如此。对于通过重复反推期权市场价格的BSM模型而言，不同行权价格的期权有不同的隐含波动率（即波动率微笑），不同期限的期权也有不同的隐含波动率（即波动率期限结构）。这些隐含波动率构成了隐含波动率曲面（示例见图1-1）。

隐含波动率曲面存在的部分原因是BSM模型在数学意义上有误。标的资产收益并不连续，也没有按照固定波动率正态分布。然而，即使是可以完美捕捉标的资产动态变化的模型，也需要隐含波动率曲面这一容差系数。另外，隐含波动率曲面存在的部分原因和标的资产无关。不同的期权有不同的供求关系，这将让期权价格有所失真。正因如此，就同一标的而言，卖出较高波动率的期权通常会带来收益（详见第4章的隐含偏度溢价）。

式（1-7）给出了对冲后期权头寸的平均损益，但是损益的分布很广。对冲的次数越多，分散度越小。图1-2展示了无再对冲的一年期平值卖出跨式损益分布，图1-3展示了每日对冲的一年期平值卖出跨式损益分布。标的资产变化路径通过10000次几何布朗运动（GBM）实现。隐含波动率和已实现波动率相同，因此我们预期损益为零。

图1-4展示了损益分布的标准差与对冲次数的关系。

由于对冲有损耗，因此需要以较低频率进行对冲，并接受更大范围的损益分布标准差。所有对冲都会产生交易成本（佣金、交易费和设备费用）。这些成本在投资组合中很容易被忽略。单次交易成本微小，但是成本会累积。为了强调这一点，表1-1对比了每日对冲需要成本的卖出跨式（每股交易成本0.1美元）和对冲无需成本的卖出跨式统计数据。两种情形的区别大致相当于波动率被错估了2个点的情形差异。

实际上，激进的再对冲由做市商和一些波动率专家来执行。绝大多数个人或者买方极少对冲或者从不对冲。我在另一本书中讨论了希望近似于连续对冲的相关理论。在本书中，我们假设没有发生再对冲。这些结论也同样适用于那些不经常对冲的人。他们可以假设原始头寸已经了结，并建立新的头寸。因此，一个月后被对冲的一年期头寸可以得到类似于11个月期的期权头寸分布。