1.5.1 基本逻辑运算及对应的逻辑门
1.与运算及与门
与(AND)运算表示的逻辑关系是只有当决定一事件结果的所有条件同时具备时,结果才能发生。例如,在图1.5.1所示的串联电路中,只有在开关A和开关B都闭合的条件下,灯L才亮,这种灯亮(结果)与开关闭合(条件)之间的关系就称为与逻辑。如果用二值数字逻辑0和1来表示开关和灯的状态,设开关A、B闭合为1,断开为0,设灯L亮为1,灭为0,则L与A、B的关系可以用表1.5.1所示的真值表来描述。
表1.5.1 与逻辑真值表
图1.5.1 与逻辑实例
真值表就是将输入变量的各种可能取值组合与其对应的函数值逐一列出来的一个表格。其特点是能够直观地表示输出函数与输入变量之间的逻辑关系,且具有唯一性。
数学上,与运算可以借助逻辑代数来表示,写为
L = A·B (1.5.1)
式(1.5.1)也称为逻辑表达式,式中小圆点“·”是与运算符,表示变量A、B的与运算,也称为逻辑乘。在不致引起混淆的前提下,“·”可以省略。某些文献也用符号“∧”“∩”“&”表示与运算。
实现与运算的电子电路称为与门电路(简称与门),其图形符号 [3]如图1.5.2所示。图1.5.2(a)所示为特定外形符号,图1.5.2(b)所示为矩形符号。
图1.5.3所示为由电阻和二极管构成的与门电路。输入A、输入B可以取两种电平值:高电平+3V或低电平0V。假设二极管具有如下特性:当阳极电位高于阴极电位时,二极管相当于开关闭合,支路短路,电阻为0;当阳极电位低于阴极电位时,二极管相当于开关断开,支路开路,电阻为无穷大。如果A、B中有一个(或两个)为低电平,则VD1、VD2中有一个(或两个)会导通,有导通电流,于是输出为低电平;如果A、B都为高电平,则VD1、VD2均为反向偏置,没有电流流过电阻R,于是输出为高电平。如果规定高电平为逻辑1,低电平为逻辑0,那么L与A、B之间逻辑关系的真值表与表1.5.1相同,因而实现了L = A·B的功能。
图1.5.2 与门的图形符号
图1.5.3 二极管实现的与门电路
除了上面介绍的逻辑表达式、真值表和图形符号可以表示与运算的逻辑功能外,波形图也可以描述其功能。图1.5.4所示为与门的电压波形图,低电平用逻辑0表示,高电平用逻辑1表示。输入A是脉冲信号,在t1时刻之前,输入B一直为0,则输出L为0,这段时间与门被封锁,输入A刚开始的3个脉冲信号不能通过与门。在t1时刻之后,输入B为1,则L随输入A变化,此时,与门开通,输入A可以通过与门传送到输出端。
图1.5.4 与门的输入、输出波形图
2.或运算及或门
或(OR)运算表示的逻辑关系是,决定一事件结果的所有条件中只要有一个或几个条件得到满足,结果就会发生。例如,在图1.5.5所示的并联开关电路中,只要开关A或开关B闭合或两者均闭合,则灯亮。而当A和B均断开时,灯不亮。这种因果关系就称为或逻辑。仿照前述,用逻辑0表示开关断开、灯灭,用逻辑1表示开关闭合、灯亮,可以得出或逻辑的真值表,如表1.5.2所示。
数学上,或运算用下面的逻辑表达式来描述:
L = A + B (1.5.2)
式(1.5.2)中符号“+”是或运算符,表示变量A、B的或运算,也称为逻辑加。某些文献也用符号“∨”“∪”“|”来表示或运算。
图1.5.5 或逻辑实例
表1.5.2 或逻辑真值表
实现或运算的电子电路称为或门电路(简称或门),其图形符号如图1.5.6所示。图1.5.6(a)所示为特定外形符号,图1.5.6(b)所示为矩形符号。
图1.5.7是由电阻和二极管构成的或门电路。图中输入A、输入B可以取两种电平值:高电平+3V或低电平0V。设二极管为理想开关,并规定高电平为逻辑1,低电平为逻辑0,则L与A、B之间逻辑关系的真值表与表1.5.2相同,因而实现了L = A + B的功能。
图1.5.6 或门的图形符号
图1.5.7 二极管实现的或门电路
图1.5.8所示为或门的电压波形图。由图可知,在输入A、输入B中,任意一个或两个为高电平1,输出L就为1;只有A、B都为低电平0,输出L才为0。
图1.5.8 或门的输入、输出波形图
上述与运算、或运算可以推广到更多变量的情况,也有3输入、4输入的逻辑门用来实现相应的逻辑运算:
L = A·B·C… (1.5.3)
L = A + B + C +… (1.5.4)
3.非运算及非门
非(NOT)运算是逻辑的否定:当条件具备时,结果不会发生;而条件不具备时,结果一定会发生。例如,在图1.5.9所示的开关电路中,只有当开关A断开时,灯L才亮,当开关A闭合时,灯L反而熄灭。灯L的状态总是与开关A的状态相反,这种结果总是与条件相反的逻辑关系称为非逻辑。非逻辑的真值表如表1.5.3所示,其逻辑表达式为
式(1.5.5)中,字母A上方的短线“”表示非运算。通常称A为原变量,称为反变量。
实现非运算的电子电路称为非门电路(简称非门),其图形符号如图1.5.10所示。图中用小圆圈表示非运算。小圆圈可以加在输入端、也可以加在输出端,图1.5.10(a)和图1.5.10(c)、图1.5.10(b)和图1.5.10(d)表示的运算是完全等效的,但将小圆圈加在输入端强调的是“输入信号为低电平有效”。
图1.5.9 非逻辑实例
图1.5.10 非门的图形符号
图1.5.11是由三极管和电阻构成的非门电路。当输入A为低电平时,例如,vI= 0V时,三极管的发射结为0偏置(vBE= 0),集电结为反向偏置(vBC<0),则三极管处于截止状态,这时集电极回路中的c、e极之间近似于开路,相当于开关断开,输出L为高电平。当输入A为高电平时,例如,vI= VCC时,调节Rb,使iB足够大,则三极管饱和导通,这时集电极回路中的c、e极之间近似于短路,相当于开关闭合,输出L为低电平。若规定低电平为逻辑0,高电平为逻辑1,则L与A之间逻辑关系的真值表与表1.5.3相同,因此实现了L =A的功能。
表1.5.3 非逻辑真值表
图1.5.12所示为非门的电压波形图。由图可知,输入、输出波形的相位正好相反,因此,非门也称为反相器。
图1.5.11 三极管实现的非门电路
图1.5.12 非门的输入、输出波形图
如果将两个非门串联起来,如图1.5.13(a)所示,就构成了另一种称为缓冲器的门电路。在实际工作中,缓冲器通常用于增强输入信号的驱动能力。图1.5.13(b)是缓冲器的特定外形符号。它的逻辑表达式为
L = A (1.5.6)
图1.5.13 缓冲器的图形符号