1.3.3 二进制补码的减法运算

1.补码的减法运算

二进制补码的加减运算

我们先利用生活中常见的指针式钟表解释补码运算的原理。如果你在5点钟时发现时针停在10点，需要将其调整到5点，有两种调整方法：一是将时针朝逆时针方向拨5格，调整到5点，即10 - 5 = 5； 二是将时针朝顺时针方向拨7格，调整到5点，即10 + 7 = 17，由于钟表盘的最大数为12，将超过12的“进位”丢掉后，剩下的余数即为需要的结果，即17 - 12 = 5。

由此说明10 - 5可以用10 + 7完成（舍去进位）。由于钟表盘共有12个数，因此称12为进位的模，而5为-7对模12的补码，同样，7为-5对模12的补码。同理，4为-8对模12的补码，8为-4对模12的补码。

这里引入了“模”的概念，用M表示（也写作mod M）。所谓“模”是指一个计数系统的进位基数。例如，钟表的小时从1到12有12个数，它的模是12;1位十进制数为0～9，其模M=10,n位十进制数的模M=10n;n位二进制数的模M=2n。

从上述例子中可以得出一个结论：减去某个数可以用加上它的负数的补码来完成，并舍去进位。这个结论同样适用于二进制数的运算。

计算机等数字系统均采用补码进行有符号二进制数的减法运算。

设A和B均为n位正数，则补码的运算规则如下：

(A + B)补= (A)补+ (B)补

(A - B)补= (A)补+ ( -B)补

(-A + B)补= (-A)补+ (B)补

(-A - B)补= (-A)补+ (-B)补

进行二进制补码运算时，必须注意以下几点。

（1）参与运算的是补码，运算结果仍是补码。

（2）被加数与加数的补码采用相同的位数，如果运算结果超过了模，产生了进位，则丢弃进位才能得到正确结果。

（3）符号位与数值位一起参与运算，结果的符号位由运算结果确定。

例1.3.7 试用8位二进制补码计算13 - 15。

解 (13 - 15)补= (13)补+ (-15)补= 00001101 + 11110001= 11111110

在补码系统中，符号位和数值位按同样的规则参加运算，例1.3.7的运算过程如下：从最右边开始，依次将被加数和加数的对应位相加，得到结果的补码为11111110。其符号位为1，说明是负数，其对应的十进制数真实值为-2，结果正确。

2.溢出

例1.3.8 试用4位二进制补码完成下列运算。

（1）4 + 3 （2）-5 - 3 （3）2 + 6 （4）-3 - 6。

解 下面是具体的运算过程，同时还给出了对应十进制数的运算。仔细分析每一个题目的两种运算结果，发现（1）和（2）的结果正确，而（3）和（4）的补码运算结果是错误的。错误产生的原因在于4位二进制补码中有3位是数值位，所表示的范围为-8～+7。而（3）和（4）的运算结果应分别是+8和-9，均超过了该表示范围，因而产生了溢出。比较4种情况可知，两个符号相反的数相加不会产生溢出，但两个符号相同的数相加有可能产生溢出。如果两个符号相同的数相加时，和的符号与它们的符号不同，则说明运算结果溢出了。