第55章 暴君庞加莱
收回刚才的想法，长的题目也很难。
这和昨天考的第一题一样，都是一道自定义题。
如果说昨天的考试难度为10的话，那么今天考试的难度直接飙升到20甚至30。
整个考场里的学生也陷入了沉思，在答题卷写上了字的选手寥寥无几。
王庭柏紧紧皱着眉头，按照以往的情况，一二三题的难度应该是递增的。
第一题、第二题都这么复杂了，那第三题就更难了。
王庭柏拍了拍脸，抛开心中的杂念，重新把注意力集中在题上。
若C全为T，则L(C)=0．
假设C含有i个H，0＜i≤n
设H所在位置为0＜a1＜a2＜......＜ai≤n
令a0=0，由于ai⩾i，
故存在唯一的0＜j≤i
......
扑通一声，突然有位选手从椅子上倒了下来，把教室里所有人都吓了一跳。
只见那名选手瘫在地上，面色青白，双手颤抖着拿着笔。
监考老师赶忙上前查看：“同学你怎么了？”
然后这位老师转头对另外一个老师说：“陈老师，你先去叫医疗组来，看这样子这位同学不能再考试了。”
这位选手赶忙摇头，依靠着监考老师的手，重新回到了座位。
监考老师不放心的还在他旁边站着。
终于他还是坚持不住，眼含泪水的离开了考场。
王庭柏吸了口冷气，好家伙，这做数学题还是高危工作，考试考到晕倒啊！
怪不得在考场外还有救护车，感情是提防学生出意外啊？
短暂的事故后，教室再次安静了下来。
叹了一口气后，王庭柏重新回到题目上来。
由操作方法可知，第1，⋯，aj−i次操作依次将第i位至aj−1位上的T改为H，接着的aj−i次操作又依次将第aj−1为至第i位上的H改为T。
故经过总共2aj−2i+1次操作的结果恰将第aj位上的H改为T。
通过这样的简单操作，经过i组以后，H都变为T，所以结论成立！
第一小题证毕！
第二小题应该能用代数值的办法一步一步推导出来，但是时间太过漫长。
王庭柏感觉他第一问的解题方法很难使用到第二问里。
或许对n归纳证明会更好。
对任意C∈Vn，L(C)有限，
且∑C∈VnL(C)=2^（n−2）* n *(n+1)
当n=1时，......
当n=2时，......
他换了一种方法重新证明了第一问，他想到了欧拉示行数理论。
根据第二种方法的归纳假设直接运用到第二问中得出一个简单的式子：
∑C∈VnL(C)=∑C⋅T∈XL(C⋅T)+∑H⋅C∈YL(H⋅C)+∑T⋅C⋅H∈ZL(T⋅C⋅H)
其实也不简单，但王庭柏知道到了这一步征服这个美丽的数学“姑娘”，只需临门一脚，就可抱得美人归。
=2^（n−2）* n *(n+1)
因此，所有L(C)的平均值为1/4*n*(n+1)
通往罗马的路虽有千千万万条，但最终的归宿只有一个，这些数字这些符号或许像婀娜多姿的美女，但终究在他就像卸妆水，几笔下去现出最原初的模样。
时间过去了两个小时二十分，王庭柏完成了下半场考试的前两题，算上昨天完成的三题，他总计完成五题。
国家队集训就在眼前了，甚至现在已经一只脚迈入门槛了。
王庭柏狠狠的伸了一个懒腰，稍作休息，高二期末之前他都没敢没想过，自己有机会参加全国最顶级的数学竞赛并成为国家队选手，甚至有希望冲击满分。
“最后一题，终于还有最后一题了！”
王庭柏对自己前五题的解答有信心，但这里是全国最顶级的数学竞赛。
强中自有强中手，说不准就有很多人得满分呢！
所以要确保稳进国家集训队，最保险的办法就是答对所有的题目，获得满分。
获得满分就意味着肯定是第一名，不可能有人能超出卷面分吧？
当王庭柏将最后一题认真审视完之后，他觉得出这题的人真不把选手们当人。
这一题，题目的长度足足有一整面纸。
拓扑学是研究空间形状和变形的数学分支。在拓扑学中，我们关注的是物体的连续性和等价性，而忽略了其具体的度量和尺寸。例如，拓扑学可以告诉我们两个物体是否可以通过拉伸、挤压或弯曲而变形成另一个物体。
任何一个闭曲面都可以通过连续可变形的方式转变成一个球面。
也就是说，无论它是什么形状，只要是闭曲面，都可以被“慢慢拉伸”变成一个球面。
王庭柏越看越熟悉，这特么的不是庞加莱猜想吗？
是法国数学家庞加莱提出的一个猜想，其猜想内容为：任何一个单连通的，闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。
其也是克雷数学研究所悬赏的七个千禧年大奖难题，庞加莱猜想也是七大难题中唯一一个被证明的。
三维的情形被俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼于2003年左右证明。
2006年，数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。
佩雷尔曼不喜欢与媒体打交道，甚至在2006年的菲尔茨奖他都拒绝了，然后从此人间蒸发不知所踪。
虽然这个猜想很牛皮，但让高中生做这种世界级难题是不是太为难人了？
王庭柏左算右算，上算下算，大半个小时过去了，也没有一丝进展。
他放下手中的笔，用力按了按太阳穴，缓解大脑过热。
“压轴题毕竟是压轴题，拓扑这种玩意一直都这么难搞！”
拓扑是集合上的一种结构。设T为非空集X的子集族。若T满足以下条件：
1.X与空集都属于T;
2.T中任意有限个成员的交集属于T;
3.T中任意个成员的并集属于T;
则T称为X上的一个拓扑。具有拓扑T的集合X称为拓扑空间，记为(X，T)。
“不对啊，这玩意完全都超纲了，完全不能用高中知识解决，CMO应该不会犯这样的错误啊！”
王庭柏恍然大悟，这什么拓扑，什么庞加莱猜想都是她的面纱，若隐若现，神神秘秘的引人视线。
但将她的面纱摘下，居然是个女装大佬！
也就是说这根本不用拓扑的知识，就是一道简单的代数计算！