第36章 竞赛二

第二题是一道平面集合题。

卷面上的条件不多，但是图形却略显复杂。

大三角里套着三个小三角形，还有一个倒着的梯形，圆与三角形相交，并作了它们的切线，还有各种延长线以及延长线的交点，纵横交错，穿过圆和三角形的直线有十多条。

正常高中生看到这种题，立即就会产生将试卷撕毁的冲动。

题目给了几个已知条件，最上面的三角形△ABC为锐角三角形，且∠BAC不等于60°，外接圆的两条切线和交点的连线长度相同。

要求答题者求证其中两个交点M，N和点A的连线相等，即AM=AN。

这题出的十分严谨，寥寥数笔就将欧几里得的几何之美体现的淋漓尽致。

罗巴切夫斯基的平行公理在此难以引用，数学王子高斯的新几何理论也没有用武之地。

王庭柏提前学过的大学几何知识都在这道几何题上被封印了。

这可以理解为，从1加到100不能利用等差数列的求和公式直接求和，而是要用最简单最朴素的加法如同小学生一样，一个数一个数的往上加！

王庭柏摸了摸下巴在心中暗暗想到：“这题出的有水平！没有让人钻空子的地方，只能用几何学的几个最基础的、绝大部的人都学过的知识去解决。”

纯粹的几何是对一个人逻辑推理能力的挑战，是对图形的观察力的考验，先进的数学理论在此都不再适用，只能用最基本的点线面去征服它！

王庭柏没有着急，而是细细的再读了一遍题目。

突然灵光闪现，他将两条切线做了延长线，将倒着的小梯形延长成一个三角形，并将交点命名为K。

再做∠BAC的平分线交于BC上，命名交点为L。

再由线的平行得出三角形相似。

结合内角平分线定理得出LM=LN，

再由两三角形全等，得出结论AM=AN

证毕！

“嗯，厉害！”刚才的监考老师从王庭柏解出第一题后就站在他旁边，看着王庭柏干脆利落的答出第二问，他情不自禁的赞叹了一下。

监考老师也是数学老师，他知道这题由他来做绝对不会这么流畅，真是长江后浪推前浪，前浪死在沙滩上。

全心全意投入在题目中的王庭柏刚才没有注意到监考老师，听到他的感叹被吓得一激灵。

“这老师好烦，一直站我旁边不知道干啥！”王庭柏不禁在心中暗暗吐槽。

然后不满的看了他一眼。

监考老师也意识到现在还在考试，刚才打扰到考生了，只好讪讪的走开。

做数学题就跟写小说一样，文思泉涌的时候一天写个一万多字也就是一下午的事，要是思路中断了那站在电脑前写一天也憋不出一千个字来。

王庭柏的状态就被一声赞叹打断了。

他只好重整旗鼓，重新看了一遍上两题的解答过程，找到点感觉后看了最后两题，也是分值50分的两题。

第三题是一道集合中的组合最值问题，比较常规的一道题。

当然普通高中生都看不懂题目让你求啥。

设 S={1，2，3，...，100}。求最大的整数 k，使得S有k个互不相同的非空子集，具有性质:对这 k个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的.最大元素均不相同。

“嗯，组合最值问题。这题读了起来倒是挺拗口的，但仔细一看来个小技巧就行了，不就数学归纳法和抽屉原理就能给秒了吗？50分就这啊？”王庭柏一只手转动着笔，一边想到。

数学归纳法的思想可以追溯至公元前330年至公元前275的欧几里得。

不过严格的数学归纳法在1575年意大利数学家、物理学家莫洛克斯的《算术》一书中才明确了这一方法，再由法国著名数学家帕斯卡承认莫洛克斯引用了这方法，并在他的著作《三角阵算术》中运用了这一方法。

也不知道为何，一般认为帕斯卡是数学归纳法的主要发明人，莫洛克斯心里苦啊。

抽屉原理听起来很简单：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放不少于两个苹果。

这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。

这也能被称为原理？

这不是是个人都知道的常识吗？

但抽屉原理是由德国数学家狄利克雷提出，它是组合数学里十分重要的定理。

抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n+1个元素放到n个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。

王庭柏一想到这两个原理，顿时思路就来了。

灵感如泉水般涌出，他拿起水笔，深吸一口气进入到第三题的解题过程中去。

二十分钟之后，王庭柏写完了第三题的全部解答过程，经数学归纳法推理证明，再归纳假设，最后用抽屉原理得出结论。

所求的k max=2^99 - 1

王庭柏得出答案后有点后悔，这题根据题意可以用极值法直接得出答案的，不用像他一样傻乎乎的一步步往下走。

有了结论再想办法去验证结论，这远比推导一个未知数容易得多。

虽然有系统的加持，但在解题过程中，王庭柏还是发现了自己的不足。

真理和谬论或许并不像表面那样的对立，在一定条件下真理会变成谬论，谬论也会变成真理。

就像进行双缝干涉实验之前，人们永远也不会想到光具有波粒二象性，光会因人的观察而改变自己的性质。

王庭柏有点走神，想的很远很深，深感自己的学术高塔面前还只是个蹒跚学步的幼儿。

“考试时间还有一个小时，请各位考生抓紧答题。”站在后面的另一位监考老师向全体考试提醒道。

王庭柏回过神来，还剩最后一题。

最后一题也就是俗话说的压轴题，理论上来说应该是最难的一题。

但是王庭柏一见这题就差点笑出了声。