第35章 竞赛一

驱车近一个小时，真海中学的大巴车成功抵达明州市中学。

今年高中数学联赛明州赛场就在这里。

全国各省基本上都是自行组织联赛。

浙省数学竞赛由浙省教育厅主办，由省内各市（州）、县（市、区）数学竞赛办公室承办。

这次参加的已经是复赛了。

奖项分为省一、省二、省三。

再由省一排名靠前同学组成省队参加CMO。

按往届数据来说，40%左右的参赛者能获得省二、省三，5%的参赛者可以获得省一。

各省省队名额由华国数学会根据各省在去年CMO中的表现认定分配，每年名额会略有浮动。

浙省省队名额都在25-30名左右徘徊。

王庭柏来到数竞的目的就是为了拿到IMO冠军，进省队是他的第一步。

主办方按照常规的考试程序对每位参赛者的身份证、准考证以及是否携带手机等电子设备进行了检查。

王庭柏和林雪宁被安排到了不同的教室进行考试。

一间教室大概30位参赛者，没有一个真海中学的队友和王庭柏是同一个考场的。

他的座位被安排到第三列第一排。

也就是正对讲台的座位。

王庭柏坐下，对自己的座位有点微微的不满。

虽然没想过作弊，但是在老师眼皮子底下终归还是不舒服。

既来之则安之，王庭柏将身份证、准考证、水笔、铅笔、圆规直尺等整齐的摆放在桌面，静待考试开始。

发试卷前，先发了草稿纸。

就和高考一样，除了一些必要文具外，考生不允许携带任何纸张进入考场。

这是一场严肃的考试，不允许有人作弊。

当然数学竞赛考试你带小抄也没有任何软用。

还需要带小抄的选手，那说明数学竞赛真的不适合你，还是回家洗洗睡吧！

时间到了八点整，监考老师准时发放试卷。

先考的是一试。

考卷上只有填空题和解答题两种题型。

没有选择题，最大程度的避免了运气成分，蒙都没得蒙。

其中填空题有8题，每题8分，共计64分。

3道解答题，一般分值为16、20、20，共计56分。

一试的卷面总分为120分。

出题者题型分配比较合理，高中数学里的函数、数列、集合、不等式、向量复数、排列组合、解析几何、立体几何等模块知识都有涉及。

一试的填空题对于王庭柏来说十分轻松，这些题型也就是稍微创新一点稍微难一点的高考题，而且不需要写推理过程，可以直接用大学里的公式往上套很容易就能得出答案。

不管你用拉格朗日还是洛必达法则直接开洛，只要能得出正确答案就行！

王庭柏很快就解决了8道填空题，直接开始最后的三道解答题。

第一题是一道平面解析几何题，给出了一个P是X轴上的动点满足条件：过P可作抛物线y²=4x的两条切线，两切点连线Lp与PO垂直，设直线Lp与PO，x轴的交点分别为Q，R。求证R是一个顶点并求出PQ/QR的最小值。

第二题是一道数列题，数列{an}满足a1=π/6，a（n+1）=arctan（sec an）（n∈N*）求正整数m，使得一个式子成立。

第三题则是一道纯粹的代数题，确定所有的复数α，使得对任意复数z1，z2，均可以使一个式子成立。

王庭柏眉头一皱，感觉事情不简单。

“怎么会呢？一定是有陷阱！数学竞赛的题怎么会这么简单呢？”

王庭柏停顿许久，依旧没看出有什么陷阱。

只好在草稿纸上先写下三道题的证明过程以及答案。

检查了好几遍，确认无误后，王庭柏心想着一试确实挺简单。

这才将草稿纸上的答案抄入自己的答题卡上。

将答题卡填满后，王庭柏长舒一口气。

看了看周围的考生，左边的一位小姐姐眉头紧锁，貌似还在写填空题。

右边的一位老哥也呆呆的停在第一道解答题上，无从落笔。

偷偷看了一眼后排，倒是有几人神色轻松，还在奋笔疾书。

前排的监考老师也注意到王庭柏东张西望的样子，神色严肃的来到他桌前轻敲桌面。

“这位同学，不要东张西望，好好答题。”

“老师，我问一下一试卷子都做完了，能不能提前做二试的？”王庭柏弱弱的问了一句。

监考老师有点惊讶的看着眼前的王庭柏，本以为这个长相阳光有点小帅的男生只是来混的，毕竟他的长相很没有数学的气息，没想到竟是枚学霸。

“当然不行！”监考老师看了眼自己的手表，“现在才9点不到，二试要9点40才开始。你再好好检查一下，不要打扰其他同学答题。”

王庭柏闭上了嘴，对监考老师打了个“OK”的手势。

百无聊赖的王庭柏只好把做过题换了一种方法再解了一遍。

就在王庭柏用另一种方法解出最后一题答案时，二试也开始了！

二试考试时间为9:40——12:30，170分钟，共180分，4道大题，考察平面几何、代数、数论、组合数学等知识。

前两题每题40分，后两题每题50分。

王庭柏先做理论上最简单的一题也就是第一题。

这道题看起来极其简单，甚至初中生都会产生我能行的感觉，只有算上条件和求证要求只有寥寥两句话和几个字符。

设a，b，c∈R，满足a+b+c=1，abc>0

求证bc+ca +ab

看起来真的特别简单，但是95%的高中生都做不出来。

刚才的监考老师看见了王庭柏皱眉的样子，心想：小伙子刚才一试也就是开胃菜，让你刚才这么嚣张，现在懵逼了吧？数学竞赛的精华还得是二试。

突然这位老师就见王庭柏神色舒张下来了，直接开始动笔。

只见王庭柏没有打草稿，十分自信的在答题卡上写起了证明过程。

若ab+bc+ac≤1/4，则命题已成立

直接开设就完事！

若ab+bc+ac>1/4，设a = max{a，b，c}，则a+b+c =1知a≥1/3

根据以上条件，王庭柏就直接得出两个解题关键的式子

由于ab+bc+ac-1/>0，将刚才得出的两个式子相乘得

（ab+bc+ac-1/4）²≤abc/4，即ab+bc+ac＜0.5*√abc+1/4

证明成立！