解答帕普斯所提出的问题

首先，我发现，如果问题只涉及三条、四条或五条线段，那么，所求的点可以用初等几何学的知识来解决，即仅使用圆规、直尺和我前文中解释过的定理，但是五条线段皆平行的情况除外。对于五条线段皆平行的特殊情况，以及给定六条、七条、八条或九条线段的情况，总能利用与立体轨迹[23]相关的几何学知识找到所求的点，即利用三种圆锥曲线中的一种，但是九条线段皆平行的情况除外。对于九条线段皆平行的特殊情况，以及给定十条、十一条、十二条或十三条线段的情况，必须利用比上一条圆锥曲线高一级的曲线，才可找到所求的点，但是十三条线段皆平行的情况除外。对于十三条线段皆平行的特殊情况，以及给定十四条、十五条、十六条或十七条线段的情况，必须利用比上一条圆锥曲线高一级的曲线。以此类推。

其次，我发现，当仅给定三条或四条线段时，所求的点不仅会全部落在其中一种圆锥曲线上，而且有时还会落在一个圆周上，甚至是落在一条直线上[24]。

当给定五条、六条、七条或八条线段时，所求的点落在仅比圆锥曲线高一级的曲线上，我们不难想象出这种满足条件的曲线。当然，所求的点也可能落在一个圆锥截面，一个圆，或一条直线上。当给定九条、十条、十一条或十二条线段时，所求曲线只比前面的曲线高一级，但任何此类曲线都可以满足条件。以此类推至无限。

最后，圆锥曲线之后第一条也是最简单的一条曲线，是由抛物线与直线相交而生成的，下文将描述其相交的方式。

至此，我相信我已经完成了帕普斯所说的古人尚未完成的工作。接着，我将尝试用几句话来证明，因为我不想再耗费过多笔墨。

在图1-5中，令AB、AD、EF、GH，…为给定位置的任意多条线段[25]，求点C，使得由它引出的线段CB、CD、CF、CH，…与给定线段所成的角分别为∠CBA、∠CDA、∠CFE、∠CHG，…，且其中几条线段的乘积等于其余线段的乘积，或者，至少这两个乘积成一定比例——这一条件并不会增加问题的难度。

（图1-5）