平面问题及其解

如果问题可以通过一般的几何学知识，即仅通过使用平面上的直线和圆的轨迹[15]来求解，那么要使最后一个方程完全解出，至多存在一个未知量的平方，其等于该未知量乘以某一已知量再加上或减去另一已知量[16]。因此，这个根或者说该未知线段可以很容易地求出。例如，若已知z2=az+b2，要求未知量z[17]，便可在图1-3中作一Rt△NLM，其一边LM=b，即已知量b2的平方根；另一边，即另一已知量（与未知线段z相乘的量）的一半；那么，延长该直角三角形的斜边[18]MN至O，使NO=NL，则线段OM即为所求线段z，可以表示为：。

（图1-3）

但是，若已知y2=-ay+b2，其中y为所求未知量，那么，同样作Rt△NLM，在斜边MN上取点P，使NP=NL，则PM为所求的根y，可以表示为：。

同样地，若已知x4=-ax2+b2，PM=x2，那么。

其他情况同理可得。

最后，若已知z2=az-b2，同样地，在图1-4中，令，LM=b；接下来不再连接点M和点N，而是作MQR平行于LN，再以N为圆心，经过L作圆，交MQR于点Q和点R，则所求线段z为MQ或MR。在这种情况下，z有以下两种表达方式

（图1-4）

若以N为圆心过L所作的圆，与线段MQR既不相交也不相切，则该方程无根，那就是说，我们无法通过作图来求解。

当然，这些根也可以通过许多其他方法求得。我给出这些非常简单的方法，是为了表明，只需运用我所阐释的这四种作图法[19]，就可以通过作图求出所有普通几何问题的解。我想，古代数学家并没有发现这一点，否则他们也不会花费精力撰写这么多书；而他们作品中的一系列命题表明，他们并没有找到确切的求解方法，而仅仅是将偶然间发现的命题集合在了一起。

75岁的古希腊数学家阿基米德正在家中画几何图形，不幸被突然闯入的罗马士兵杀害。