1.2.4 有限体积法概述

有限体积法基于积分形式的守恒方程而不是微分方程，该方程描述的是计算网格定义的每个控制体。

三维对流扩散方程的守恒型微分方程如下：

式中，ϕ是对流扩散物质函数，如温度、浓度。

式（1-24）用散度和梯度表示如下：

将式（1-25）在时间步长Δt内对控制体体积CV积分，可得

式中，散度积分已用格林公式化为面积积分，A为控制体的表面积。

该方程的物理意义是：Δt时间段和体积CV内ρϕ的变化，加上Δt时间段通过控制体表面的对流量ρuϕ，等于Δt时间段通过控制体表面的扩散量加上Δt时间段控制体CV内源项的变化。

例如，一维非定常热扩散方程为

Δt时间段的控制体内部积分式为

式（1-28）可写成如下形式：

式中，A是控制体面积；ΔV是体积，ΔV=AΔx，Δx是控制体宽度；是控制体中的平均源强度。

如图1-2所示，设t时刻的P点温度为，而t+Δt时刻的P点温度为T_P，则式（1-29）可化为

为了计算式（1-30）右端的T_P、T_E和T_W对时间的积分，引入一个权值θ=0～1，将积分表示成t和t+Δt时刻的线性关系：

式（1-30）可写成

式（1-32）右端第二项中t时刻的温度为已知，因此该式是t+Δt时刻T_P、T_E、T_W之间的关系式。列出计算域上所有相邻三个节点上的方程，则可形成求解域中所有未知量的线性代数方程，给出边界条件后可求解代数方程组。