1.2.2　带宽的定义

信号带宽、滤波器带宽、3 dB带宽、半功率带宽、信道带宽的概念的准确定义是什么？它们是一回事吗？或者之间有什么关联？

1.信号带宽

对于一个经载波调制的信号xc(t)来讲，其频率范围覆盖了整个频域，单边带功率谱密度具有如下的表达形式：

式中，fc是载波频率；T为信号持续时间。xc(t)的功率谱密度如图1-7所示，大多数数字调制方式产生的信号频谱形状大致如此。

以下是图1-7中几种信号带宽的定义[1]。

（1）半功率带宽（Half-Power Bandwidth）：指Gx(f)的功率下降到峰值的一半或此峰值下降3 dB的两频率点之间的间隔，因此半功率带宽也称为3 dB带宽。

（2）等效矩形或等效噪声带宽（Equivalent Rectangular or Noise Equivalent Bandwidth）：等效噪声带宽概念的出现，最初是为了从具有宽带噪声输入的放大器中快速计算输出噪声功率，这个概念也可以推广到信号带宽。信号的等效噪声带宽BN=Px/Gx(fc)，其中Px是所有频率上的信号总功率，Gx(fc)是Gx(f)在带宽中心点的值（假设该值是最大值）。

（3）零点到零点带宽（Null-to-Null Bandwidth）：这个带宽也称为主瓣宽度，是数字通信中最常用的带宽定义。在没有特别说明的情况下，通常所说的信号带宽就是指主瓣宽度，在这个频带包含了信号的大部分功率。

（4）部分功率保留带宽（Fractional Power Containment Bandwidth）：这个带宽定义已被联邦通信委员会（FCC）采纳，此带宽定义要求在正截止频率以上和负截止频率以下各留0.5%的信号功率，因此也称为99%功率带宽。

（5）有界功率谱密度带宽（Bounded Power Spectral Density Bandwidth）：该定义指在确定带宽之外的任意频率处，Gx(f)必须比带宽中心点的值低一个确定数，典型的衰减电平值为35 dB或50 dB；当衰减电平值为35 dB时，也称为限制带外衰减35 dB带宽。

（6）绝对带宽（Absolute Bandwidth）：指在该带宽之外的频谱全部为零的频率间隔，该定义在理论上很有用，但对于可实现的信号，绝对带宽为无穷大。

经过前面的讨论，我们对信号带宽、3 dB带宽、半功率带宽的概念有了更为明确的认识。众所周知，滤波器是一个频率选择性器件，它的带宽是指能够通过滤波器的频率范围[20]。半功率带宽是指与最大功率增益相比，功率衰减量下降一半（3 dB）处的频率带宽。滤波器的另外一个重要带宽概念对应于信号带宽中的有界功率谱密度带宽，也称为通带带宽，指功率衰减下降了某个典型值（35 dB或50 dB）处的频率带宽，此时的频率值通常也称为截止频率或阻带频率。

2.信道带宽

接下来的讨论中经常碰到信道带宽的概念。从电子电路的角度出发，带宽本意指的是电子电路中存在的一个固有通频带。这个概念比较抽象，我们有必要做进一步的解释。大家都知道，复杂的电子电路大都存在电感、电容或相应功能的储能元件，即使没有采用现成的电感线圈或电容，导线自身就是一个电感，而导线与导线之间、导线与地之间便可以组成电容（这就是通常所说的杂散电容或分布电容）。不论哪种类型的电容、电感，都会对信号起着阻滞作用，从而消耗信号能量，严重的话还会影响信号品质。这种效应与交流电信号的频率成正比关系，当频率高到一定程度、令信号难以保持稳定时，整个电子电路就无法正常工作。为此，电子学上就提出了带宽的概念，它指的是电路可以保持稳定工作的频率范围。而这里所说的带宽，可以更确切地理解为模拟信道的带宽。模拟信道可以理解为某个具体的电路，组成信道的电路确定了，信道的带宽就确定了。为了使信号的传输失真小些，就需要有足够的信道带宽。

有模拟信道带宽，自然就有与之对应的数字信道带宽的概念，这个概念也更接近于本书所要讨论的数字通信范畴。数字通信中离我们最近的就是无线通信，无线通信的信道其实就是空间。显然，我们生活的周围不仅充满了无处不在的空气，同时也充满了无处不在的电磁波，为了使通信不发生干扰，各个应用领域都有自己所能使用的频率范围，这个频率范围就是信道的带宽。数字信道带宽决定了信道能不失真地传输信号的最高速率。

既然信道带宽决定了传输信号的最高速率，因此两者之间必然存在一定的关系。实际上这个关系可以用数学公式表达出来，更确切地讲，这个关系可以用两个定理来描述：奈奎斯特（Nyquist）定理和香农（Shannon）定理。

早在1924年，贝尔实验室的研究员亨利·奈奎斯特（见图1-8）就推导出了有限带宽无噪声信道的极限波特率，称为奈奎斯特定理。奈奎斯特定理指出，若信道带宽为W，则最大码元速率R=2W（Baud）。数据传输速率和波特率是两个不同的概念。若码元取两个离散值，则一个码元携带1比特（bit）信息。若码元可取四种离散值，则一个码元携带2 bit信息。总之一个码元携带的信息量n（bit）与码元的离散值数量N的关系为n=log2N。请大家注意，奈奎斯特定理与我们更为熟悉的奈奎斯特采样定理的区别。采样定理是描述模拟信号和数字信号的转换过程中，采样频率与信号最高频率之间的关系。关于采样定理的内容后续还会加以讨论。

奈奎斯特定理仅描述了无噪声情况下信道带宽与波特率的关系，根据这一定理，只要增加每个码元的离散值数量，就可以增加信道中可以传输的信息量。然而无噪声的情况在现实中是不存在的。1948年香农定理的提出解决了有噪声情况下带宽与数据传输速率的关系问题，香农也因此被称为信息论和数字通信的奠基人（见图1-9）。

香农定理表明，在高斯白噪声条件下实现无差错传输的信道容量（通常等同于最大数据传输速率）C可由下面的公式计算：

式中，W为信道带宽；S为信号的平均功率；N为噪声的平均功率；S/N为信噪比。当噪声为高斯白噪声时（功率谱密度为N0），N=WN0。这个公式与信号取的离散值无关，也就是说，无论采用什么方式调制，只要给定信噪比，则单位时间内最大的信息传输量（信道容量）就确定了。例如，信道带宽为3000 Hz，信噪比为30 dB，则最大数据传输速率C≈30000 bps。这是极限值，只有理论上的意义。实际上，在3000 Hz带宽的电话线上数据传输速率能达到9600 bps就很不错了。

从专业的角度来描述，带宽的意思是指波长、频率或能量带的范围，特指频带的上、下边界频率之差。这里可以打个比方，带宽其实就像高速公路的路面宽度和允许的最大车速，而数据流则相当于高速公路上的车流。当车的数量很少时，路面宽一些和窄一些，对车速都没有任何影响；随着车流的逐渐增大，直至某个临界点，路面宽度对车流量的影响才一下子凸显出来，路面窄的话，就不能让更多的车辆在同一时间内通过，甚至造成大塞车。当然，我们也可以提高允许的最大车速，这样也能使得在单位时间内通过更多的车。也就是说，带宽是用来描述频带宽度的，但是在数字信号传输方面，也常用带宽来衡量传输数据的能力。例如，可用带宽来表示单位时间内传输数据容量的大小、数据吞吐的能力，而数据传输能力与信道带宽的关系又可以通过香农定理联系起来。