足球比赛的“内幕”

美国趣味统计学节目《概率知多少》上面有这样一个故事。英国有一个名为特雷弗的青年，有一天收到一封信：

亲爱的特雷弗，你已经被选中参加足球彩票预测系统的第一轮的科学测试，该系统使用贝叶斯理论和傅里叶分析，预测未来足球比赛结果。我们的第一个预测结果是本周六曼联将击败考文垂。作为本系统特邀的评论员，你需要做的是记录预测结果与事实是否相符。

特雷弗是个足球迷，他每周六都会看足球比赛，但是有时候可能因为有事情而耽误了看比赛，不知道比赛的结果，所以他很希望能提前知道结果。这周六他观看比赛，发现曼联果然击败了考文垂。第二周他又收到一封信，上面写着：

亲爱的特雷弗，预测系统对本周六的比赛预测结果是切尔西将击败莱斯特城。

到了周六，特雷弗又观看了比赛，发现结果和预测的一样。

就这样，连续5周，信中的预测系统预测的结果都是正确的，因此，他对预测系统的预测能力深信不疑。到了第六周，他再次收到信，上面写着：

亲爱的特雷弗，你现在已经是足球彩票预测系统的特邀客户，只要你支付200英镑，未来5年内我们都会告知你预测结果。

特雷弗感觉花200英镑去购买预测结果太合适了，这样他再也不会因为赶不上直播，不知道比赛结果而心焦了，所以他支付了200英镑，从而换取每场足球比赛的预测结果。

节目主持人说这是一个赚钱的游戏。这个游戏是这样操作的：先写800封信，其中400封预测曼联战胜考文垂，另外400封预测考文垂战胜曼联。分别寄给800人。那么这800人中肯定有400人收到的信中的预测结果是正确的。到第二周，再写400封信，预测第二周周六比赛的结果。这400封信同样有200封预测一个结果，200封预测相反的结果。把这400封信分别寄给第一周收到预测结果是正确的人。这样有200人收到的2次预测结果均是正确的。一直进行下去，直到第五周，此时只需写50封信，其中有25封预测一种比赛结果，另外25封预测相反结果。直到现在为止，有25人连续5周收到的预测结果是正确的。

其实寄信的人根本不喜欢足球，也不知道到底哪个队实力更强些。他们只需写信寄信即可。我们现在思考这个问题：连续5次都能正确预测比赛结果的概率有多大呢？

关键词：古典概型

这个案例事实上应该适用于淘汰赛和决赛，也就是说两个球队一定要分出胜负。此时每次比赛结果只有两种，一种是A队赢B队，另一种是A队输给B队。对每次比赛结果进行预测，结果是正确的概率为1/2，连续5场都能预测对的概率为=0.03125，这个概率比较小。

如果是常规的联赛，每次比赛结果有三种，第一种是A队赢B队，第二种是A队输给B队，第三种是A和B打平。对比赛结果进行预测，则单次预测正确概率为1/3，而连续5场都能预测对的概率为=0.004115，这更是个小概率事件。

事实上除非打假球或者实力相差太悬殊，否则连马上要进行比赛的球队也不知道比赛的结果。所以特雷弗的200英镑是花了冤枉钱。当然如果是针对常规的联赛，这时候第一次应该寄出的信为2430封，第二次寄出的信为810封信，到第五次寄出的信为30封，也就是说有30人连续五周收到的预测结果是正确的。