莫比乌斯带和三体问题
庞加莱创建了现代拓扑学，但他没有称之为“拓扑学”，而是给它取了一个拗口的名字——“位相分析学”。幸运的是，这种叫法没有流行开来！实际上，早在60年前，约翰·贝尼迪克特·利斯廷就创造了“拓扑学”一词。利斯廷是一位科研多面手：他发明了“微米”一词，用来指百万分之一米；他在视觉生理学领域取得了重大进展；他涉猎过地质学；他还研究过糖尿病患者尿液的糖含量。他周游世界，用他的博士生导师卡尔·弗里德里希·高斯发明的磁强计测量地球磁场。他喜好交际，人缘不错，但也常因此入不敷出。物理学家恩斯特·布莱滕伯格评价利斯廷是“为19世纪的科学史增光添彩的众多普遍主义者中的一员”。
1834年夏，利斯廷陪同他富有的朋友沃尔夫冈·瓦尔特斯豪森，踏上了前往西西里岛埃特纳火山的调查之旅。当火山处于休眠状态时，他利用休息时间思考形状及其特性，并将这门学问命名为拓扑学。他的方法不像庞加莱或诺特的方法那么系统化。与在科学领域和生活中一样，在拓扑学研究方面，他就像一只喜鹊，完全被兴趣牵着鼻子走。他画了很多结（knot）的图形，并且先于奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯画出了莫比乌斯带。（但没有证据表明利斯廷像莫比乌斯一样知道它那奇特的性质：只有一个面。）
晚年，利斯廷精心创作了《空间聚合图形大全》（Census of Spatial Aggregates）一书，将他能想到的所有形状都收录其中。他就是几何学领域的奥杜邦[1]，为大自然丰富的多样性编制目录。
图2-11
我们有什么理由去超越利斯廷编制的目录吗？“一根吸管上有多少个洞？”是一个有趣的问题，但相较于“一个针头上可以同时站立多少位天使？”的问题，是什么让前者变得更重要？
你可以从庞加莱的著作《位相分析》严肃的开头语中找到答案：
现在，没人怀疑n维空间几何图形的真实性。
吸管和裤子很容易具象化，我们不需要用数学形式主义去区分它们。而高维空间中的形状则是另外一回事，我们内在的眼睛无法瞥见它们。我们想要的不只是匆匆的一瞥，而是长久的凝视。正如我们将要看到的那样，在机器学习几何学中，我们会搜索数百或数千个维度的空间，在那片无法想象的景观中尝试寻找最高峰。即使在19世纪庞加莱研究三体问题时，也需要追踪天体的位置和运动，这意味着就每个天体而言，他必须记录3个位置坐标和3个速度坐标[2]，共计6个维度。如果他想同时追踪3个天体的位置和运动，因为每个天体都需要记录6个维度的坐标，加起来就是18个维度。纸上的图形不能帮助你理解十八维空间中的“一根吸管上有多少个洞？”的问题，更不要说区分这个空间中的吸管和裤子了。我们需要一种更正式的新语言，它必须与我们固有的洞的概念脱钩。这是几何学的工作原理：从我们对物理世界中各种形状的直觉开始（难道还有其他出发点？），严密地分析我们对这些形状的外观和运动方式的感知。它是如此精确，以至于我们无须依赖直觉就能谈论那些形状。当我们从住惯了的三维空间浅水区站起身时，我们就必须这样做。
我们已经弄清楚这个过程的开头部分了。你还记得吧，在刚开始讨论时，我们举了一个令人头疼的例子——膨胀的气球。它没有洞，你用大头针在上面戳了1个洞，一声巨响后它变成了一个橡胶圆盘。显然，它现在也没有洞。但我们刚才不是给它制造了1个洞吗？
有一种方法可以解开这个显而易见的悖论。如果你在气球上戳了1个洞，而它现在没有洞，那么一开始它必定有−1个洞。
我们处于决策的节点上：面对两种十分诱人的观点，我们需要舍弃其中一种。第一种观点认为，在一个东西上打1个洞会使洞的数量增加1个；第二种观点认为，洞的数量可以为负数。数学的历史就是由一个又一个痛苦的决策组成的漫长故事。这两种观点都符合我们的直觉，但仔细思考后我们发现它们在逻辑上是不相容的，所以必须舍弃其中一种。
关于气球、吸管或裤子上有多少个洞的问题，并不存在抽象的永恒真理。当来到数学展现在我们面前的一个分岔路口时，我们必须选择一个定义。我们不应该认为其中一条路是真的，另一条路是假的，而应该认为一条路更好，另一条路更差。在众多案例中，被证明更具解释性和启发性的才是更好的案例。经过几个世纪的研究，数学家发现，总的来说，让人感觉“怪诞”的观点（比如，洞的数量为负数）是更好的选择，而非违背一般原则的观点（比如，在某个东西上打1个洞，洞的数量应该增加1个）。因此，我要表明我的态度：“气球未爆炸时有−1个洞”的说法更佳。事实上，有一种测量空间的方法叫作“欧拉示性数”，它是一个拓扑不变量，不受任何连续形变的影响。你可以把它看作1减去洞的数量的结果。
裤子：欧拉示性数为−1，有2个洞。
吸管：欧拉示性数为0，有1个洞。
爆炸后的气球：欧拉示性数为1，有0个洞。
未爆炸的气球：欧拉示性数为2，有−1个洞。
如果你想让欧拉示性数看上去不那么怪诞，那你可以换种方式描述它：偶数维洞数和奇数维洞数的差值。未爆炸的气球是一个球体，它确实有1个洞，跟瑞士干酪上的洞一样，气球内部本身就是一个洞。但人们会觉得这个洞不同于吸管上的洞。确实如此！我们把它称作二维洞。气球有1个二维洞，没有一维洞，它的欧拉示性数似乎应该是1−1=0。这和上文给出的结果不一致，原因在于我们遗漏了一个信息，那就是气球还有1个零维洞。
这是什么意思呢？
此时该轮到庞加莱和诺特的理论登场了。顾名思义，第一个系统研究欧拉示性数的人是瑞士数学全才莱昂哈德·欧拉，但仅限于二维平面。之后，包括约翰·利斯廷在内的许多人，努力地将欧拉示性数的概念扩展至三维曲面。直到庞加莱时代，人们才开始懂得如何将欧拉示性数引入三维空间之外的维度。我并不是要将代数拓扑学的第一课压缩到一页纸上，而是要告诉大家：庞加莱和诺特为我们提供了关于任意维洞的一般理论。在他们构建的体系中，空间中零维洞的数量就是它破碎后的块（piece）数。像吸管一样，气球是一个“单连通块”（simply connected piece），所以一个气球只有1个零维洞，而两个气球有2个零维洞。
这似乎是一个怪诞的定义，但它可以自圆其说：
气球的欧拉示性数=1个零维洞+1个二维洞−0个一维洞=2
大写字母B有1个零维洞和2个一维洞，所以它的欧拉示性数为−1。把B下半部分的那个环剪开，它会变成字母R。R的欧拉示性数为0，因为它少了1个一维洞，所以欧拉示性数变大了。把R上半部分的那个环剪开，你会得到字母K，K的欧拉示性数为1。你也可以用剪刀剪下R的“小腿”，得到字母P和字母I。它们是两个独立的块，所以零维洞的数量是2，P上还有1个一维洞，所以它的欧拉示性数为2−1=1。每剪一次，欧拉示性数就会增加1，即使你剪开的不再是一维洞，这种趋势也会持续下去。字母I的欧拉示性数为1，把它剪断会得到两个I，欧拉示性数为2；再剪一刀，欧拉示性数变成3，以此类推。
如果你把裤子的两个裤腿以裤脚对裤脚的方式缝合起来，会怎么样？在我们所在的空间里，这个问题很难解释清楚。但在庞加莱的系统中，最终产生的形状有1个零维洞和2个一维洞，它的欧拉示性数为−1。换句话说，改后裤子上的洞数和原来一样。当你把2个裤脚缝合到一起时，你消除了1个洞，但同时又制造了1个新洞，它是由两个相连的裤腿围绕形成的。这种解释有说服力吗？我很希望在Snapchat上看到相关的争论。
[1]约翰·詹姆斯·奥杜邦是美国著名画家、博物学家，他绘制的鸟类图鉴被视为“美国国宝”。——译者注
[2]对物理学家来说，速度不仅意味着速率（一个数字），还意味着运动方向。所以，你需要追踪并记录朝上、朝北和朝东的运动速度，共计3个数字。