等腰三角形的定义

英语单词“isosceles”到底是什么意思呢？它指的是一个三角形有两条边相等。在希腊语中，它指的是两条“腿”；在汉语中，它指的是“等腰”；在希伯来语中，它指的是“相等的小腿”；在波兰语中，它指的是“等臂”。总之，我们似乎都认为“isosceles”的意思是两条边相等。但是，为什么我们不把等腰三角形定义为有两个角相等的三角形呢？你可能会发现（事实上，驴桥定理的全部意义皆在于此！），两条边相等就意味着两个角相等，反之亦然。换句话说，这两个定义是等价的，它们指的是同一类三角形。不过，我不会说这两个定义相同。

它们也不是绝无仅有的选择。将等腰三角形定义为回文三角形更加具有现代意义：把它拿起来，左右翻转一下，再放回原处，它没有发生任何变化。这样的三角形必然有两条相等的边和两个相等的角。在这个几何学世界里，利用帕普斯的方法可以证明两条边相等的三角形是等腰三角形，也可以证明△BAC和△CAB全等。

图1-9

一个好的定义是可以超越它的初始适用范围的。如果把“isosceles”定义为“翻转后保持不变”，我们就能很好地理解什么是等腰梯形或等腰五边形。你可以说等腰五边形是有两条边相等的五边形，但这样的定义会把如图1-9所示的松垮歪斜的五边形也囊括其中。

但是，你希望如此吗？当然，像图1-10这样美观的图形更有可能是人们心目中的等腰五边形。

图1-10

事实上，在课本中，等腰梯形并不是指有两条边或两个角相等的梯形，而是指翻转后没有任何变化的梯形。在欧几里得几何之后，对称的概念悄然出现，这是因为我们的大脑天生就需要它。越来越多的几何学课程将对称的概念置于核心位置，并以它为基础来构建证明过程。它不是欧几里得几何，而是现代几何学。