三 解答如何产生——交差原理

“昨天讲的最后三个例子，你们总没有忘掉吧！——若是这样健忘，那就连吃饭、走路都学不会了。”马先生一走进门，还没立定，笑嘻嘻地这样开场。大家自然只是报以微笑。于是马先生口若悬河地开始这一课的讲演。

昨天的最后三个例子，图上都是一条直线，各条直线都表出了两个量所保有的一定关系。从直线上的任意一点，往横看又往下看，马上就知道了，合于某种条件的甲量是什么，乙量便是怎样。如图 7，合于每小时走二里这条件，4小时便走了8里，5小时便走了10里。

当然，这种图，对于我们很有用。比如说，你有个弟弟，每小时可走六里路，他离开你出门去了。你若照样画一张图，他离开你后，你坐在屋里，只要看看表，他走了多久，再看看图，就可以知道他离你有多远了。倘若你还清楚这条路沿途的地名，你当然可以知道他已到了什么地方，还要多长时间才能到达目的地。倘若他走后，你突然想起什么事，需得关照他，正好有长途电话可用，只要沿途有地点可以和他通电话，你岂不是很容易找到打电话的时间和通话的地点吗？

这是一件很巧妙的事，已落了中国旧小说无巧不成书的老套。古往今来，有几个人会碰巧遇见这样的事？这有什么用场？你也许要这样扳差头。然而这只是一个用来打比方的例子，照这样推想，我们一定能够绘制出一幅地球和月亮运行的图吧。从这上面，岂不是在屋里就可以看出任何时间段地球和月亮的相互位置吗？这岂不是有了孟子所说的“天之高也，星辰之远也，苟求其故，千岁之日至，可坐而致也”那副神气吗？算学的野心，就是想把宇宙间的一切法则，统括在几个式子或几张图上。这就是它的“全体大用”。

现在看来，这似乎是犯了夸大狂的说法，姑且丢开，转到本题。算术上计算一道题，除了混合比例那一类以外，总只有一个解答，这解答靠昨天所讲过的那种图，可以得出来吗？

当然可以，我们不是能够从图上看出张老大得九块钱的时候，宋阿二得的是六块钱吗？

不过，虽然这种办法对于这样简单的题目可以得出来，但遇见较复杂的题目时，就很不便当了。比如将题目改成这样：

张老大、宋阿二分十五块钱，怎样分法，张老大才能比宋阿二多得三块？

当然我们可以这样老老实实地去把解法找出来：张老大拿十五块的时候，宋阿二一块都拿不到，相差的是十五块。张老大拿十四块的时候，宋阿二可得一块，相差的是十三块……这样一直看到张老大拿九块，宋阿二得六块，相差正好是三块，这便是解答。

这样的做法，即使是对于这个很简单的题目，也需做到六次，才能得出答案。较复杂的题目，或是题上数目较大的，那就不胜其烦了。

而且，这样的做法，实在和买彩票差不多。从张老大拿十五块，宋阿二得不着，相差十五块，不对题；马上就跳到张老大拿十四块，宋阿二得一块，相差十三块，实在太胆大。为什么不看一看，张老大拿十四块九角，十四块八角……乃至于十四块九角九分九九九……的时候怎样呢？

喔！若是这样，那还了得！从十五到九中间有无限的数，要依次看去，人寿几何？而且比十五稍稍小一点儿的数，谁看见过它的面孔是圆的还是方的？

老老实实的办法，就不是办法！人是有理性的动物，变戏法要变得省力气、有把握，才会得到看客的赞赏呀！你们读过《伊索寓言》吧？里面不是说人学的猪叫比真的猪叫，更叫人满意吗？

所以找算术上的解法必须更巧妙一些。这样，就来讲交差原理。

照昨天的说法，我们无妨假设，两个量间有一定的关系，可以用一条线表示出来。——这里说假设，是虚心的说法，因为我们只讲过三个例子，不便就冒冒失失地概括一切。其实，两个量的关系，用图线（不一定是直线）表示，只要这两个量是实量，总是可能的。——那么像刚刚举的这个例题，既包含两种关系：第一，两个人所得的钱的总和是十五块；第二，两个人所得的钱的差是三块。当然每种关系都可画一条线来表示。

所谓一条线表示两个数量的一种关系，精确地说，就是：无论从那条线上的哪一点，横看和竖看所得的两个数量都有同一的关系。

假如，表示两个数量的两种关系的两条直线是交叉的，那么，相交的地方当然是一个点，这个点便是一子双挑了，它继承这一房的产业，同时也继承另一房的产业。所以，由这一点横看竖看所得出的两个数量，既保有第一条线所表示的关系，同时也保有第二条线所表示的关系。换句话说，便是这两个数量同时具有题上的两个关系。

这样的两个数量，不用说，当然是题上所要的答案。试将前面的例题画出图来看，那就非常明晰了。

第一个条件，“张老大、宋阿二分十五块钱”，这是两人所得的钱的和一定，用线表出来，便是 AB。

第二个条件，“张老大比宋阿二多得三块钱”，这是两人所得的钱的差一定，用线表出来，便是 CD。

AB和CD相交于E，就是E点既在AB上，同时也在CD上，所以两条线所表示的条件，它都包含。

由E横看过去，张老大得的是九块钱；竖看下来，宋阿二得的是六块钱。

正好，九块加六块等于十五块，就是 AB 线所表示的关系。而九块比六块多三块，就是 CD 线所表示的关系。

E点，毫无疑问正是本题的解答。

“两线的交点同时包含着两线所表示的关系。”这就是交差原理。顺水推舟，就这原理再补充几句。

两线不止一个交点怎么办？

那就是这题不止一个答案。不过，此话是后话，暂且不表出，以后连续的若干次讲演中都不会遇见这种情形。

两线没有交点怎样？那就是这题没有解答。没有解答还成题吗？

不客气地说，你可以认为这题不通；客气一点儿，你就说，这题不可能。所谓不可能，就是指照题上所给的条件，它所求的答案是不存在的。

比如前面的例题，第二个条件，换成“张老大比宋阿二多得十六块钱”，画出图来，两直线便没有交点，如图 9。事实上，这非常清晰，两个人分十五块钱，无论怎样，不会有一个人比另一个人多得十六块的。只有两人暂时将它放着生利息，连本带利到了十六块以上再来分，然而，这已超出题目的范围了。

教科书上的题目，是著书的人为了帮助学习的人练习编造出来的，所以，只要不是排错，都会得出答案。至于到了实际生活中，那就不一定有这样的好运。因此，注意题目是否成立，假如不成立，解释这不成立的理由，都是学习算学的人应当做的工作。