序言

厚积薄发、稳步加速才是理想的数学学习模式

自从我业余时间开了公众号“昍爸说数学与计算思维”（xuanbamath）后，不少人希望我聊聊自己的数学学习和升学经历。

我曾获得过全国初中、高中数学联赛一等奖，江苏赛区第一名，高考时数学满分。我的整个求学过程经历了三次重要的升学考试，其中两次本可以免试，但最终由于某些原因我放弃了免试机会。

在获得全国高中数学联赛一等奖并代表江苏队参加中国数学奥林匹克竞赛（CMO）之后，我收到了不少高校免试录取通知书。高中母校鼓励我再冲击一下高考状元，于是，我又踏上了高考的征途。

当年是在高考前填志愿，我的第一志愿是清华大学。不过南京大学招生办的老师来学校找到我，跟我说南大的学术很牛，连续多年《科学引文索引》（SCI）论文雄踞全国第一（后来证实确实如此），而且还对我口头承诺不管考多少分，专业任我选。听了这些后我就把清华大学改成了第三志愿。

最后的成绩还不错，除了因为竞赛成绩可以加20分，我的高考裸分也超过清华录取分数线17分。

2001年，“9·11”事件打碎了很多大学同学的出国梦。我拿到了南大计算机系的保研名额。不过读完本科后，我因为对北京有了新的认识，于是再次放弃免试资格，毅然踏上考研路。这一次，我选择了中国科学的最高殿堂——中国科学院。

一路走来，我并没有觉得学习苦不堪言，原因有两点：一是掌握了正确的学习方法；二是所有的学习和拼搏都不是“被安排”的。

小时候，我没有奥数启蒙老师，奥数都是靠自学的。如果非要问有没有什么秘诀，我总结了一下，压箱底的解题秘诀就一条：把“题型没见过”当成一种常态，从简单开始，从特殊开始，从错误开始，从简单到复杂，从特殊到一般，从错误到正确。

如果非要用“高大上”的语言来表达，那就是归纳推理和类比推理。演绎推理是我后来才慢慢习得的一种能力。

这几年，我在跟一些家长和孩子聊天时，发现了两个不好的现象。

现象一：有家长反映，孩子只乐于做见过的题型，一旦碰到没见过的题型，就不愿意多想，本能地产生一种畏惧。而题型见得多的那些孩子，做起题来就飞快。看到人家的孩子做题很熟练，有些家长不免心虚：自己的孩子是不是没有数学天赋？

现象二：一个曾在机构学数学的孩子跟我说，虽然例题听得懵懵懂懂，但不妨碍他依葫芦画瓢把老师布置的作业做出来。

儿子昍昍在五升六的那个暑假也出现过类似的问题。当时，我觉得他这个年龄应该可以自学了，于是买了本《举一反三》给他自己做。可是，未曾料到的事发生了。有一次检查他做的题时，我发现他列式和答案对了，却讲不出所以然。追问之下，他说例题给了模式，按照模式套，就把题解出来了。再问他例题有没有看明白，他说其实没理解。

没看懂、没听懂也会做题不好吗？这是真正让我忧虑的地方。我并非说书的例题一定没讲明白，而是所谓的举一反三只是一种假象。许多知识点和模式只是为了解决量身定做的问题而提出。

比如小学奥数的几何里有很多模型，如鸟头模型、共角模型、蝴蝶模型等。这些模型可以用于解决一些定制的问题，但这些模型本身的证明，孩子并未掌握。而恰恰是这些模型背后的原理，才是精髓所在。

这种依葫芦画瓢学习的一大问题是很多人不去探究模型适用的前提，看到类似的问题就直接套，最后常常是张冠李戴。

从小习惯于模仿，会让我们最终失去原创精神！

从那以后，我就让孩子换了一种方式做《举一反三》：不看例题，直接开始。

某一天，一个朋友在文章里展示了20世纪90年代流行的一本奥数习题集，我倍感亲切，不禁勾起了对二三十年前的回忆。那个年代的奥数正如最初田园时代的宇宙，无限美好。

朋友晒的那本奥数习题集——《华罗庚数学学校试题解析》，是我小学临近结束时才接触到的唯一一本奥数书。

我小时候读的是正儿八经的村小，整个幼儿园和小学的时光，基本都是在泥地里摸爬滚打度过的。平时，我们除了完成学校布置的家庭作业，就是劳动和疯玩。那会儿的寒暑假是真正意义上的假期。除了学校发的一本薄薄的寒暑假作业之外，我们没有任何附加的学习任务。

这样的生活一直持续到六年级下半学期。学校突然得到通知，县里最好的中学——前黄高级中学要特招一个班的学生。

由于我平时在校内学习成绩不错，老师极力动员我去参加选拔考试。但是仅靠村小课内教的那点儿课本知识，想通过入学考试无异于痴人说梦。当时的武进县是人口大县，共150多万人。全县共60多个乡，每个乡都有8～10所小学，而招生名额只有50个，竞争相当激烈。

不过，我当时压根儿就没想难度这事，只是思量着得找点儿题来练练手，于是骑车到几公里之外的乡镇书店里找到了这本《华罗庚数学学校试题解析》。我当时虽然没听说过高斯、欧拉和牛顿，但知道华罗庚，因为他是我们常州人的骄傲，来自常州另一个县——金坛。

书买到了，可问题也随之而来。稍微翻了一下这本书，我就傻眼了。整本书的题目我几乎都不会做！

不会做？可以对着解答来学嘛！但这就是一本习题册，没有例题，很多选择题、填空题的解答都只有一个简单的选项或答数。即便是大题，解答过程也非常简略，对于当时的我而言这简直是本天书。

首先要解决的问题是有一个安静的学习环境。本来我每天晚上和父母一起看会儿电视就早早睡了，自买回书后，为了晚上能有个安静的空间看书，我让父亲在楼上支了张竹床。这样每天晚饭后我可以一个人钻研三四个小时习题册。

一开始做这种题时，速度真的跟蜗牛无异。有时一个晚上我只能琢磨三四道题。不会做，我只能慢慢去尝试，从简单到复杂、从小规模到大规模、从特殊到一般。慢慢地，随着能力增强，信心也逐渐增强了。三个月后，虽然有些问题仍没搞明白，但我差不多把那本习题册做了一大半。

现在想来，这三个月的经历对我后续的数学学习乃至工作方式产生了深远影响。没有葫芦就画瓢的奥数启蒙，好比一个人不会游泳就被直接扔进湖里，没有救生员，没有游泳圈，唯有求生的本能迫使自己不断挣扎着冒出水面扑腾。最后当这个人学会游泳时，他没有优美的泳姿，但摸索出来的经验非常实用。

如果不会，那就从简单开始、从特殊开始、从错误开始，这是解决未知问题最行之有效的方法。

由于做的题没有任何例题可循，因此不会陷入套路。这种纯粹靠尝试和在错误中总结纠正的做法，实实在在地提升了我解决未知问题的能力。同时，我因为习惯了解决没有见过的题型，所以在碰到没见过的题型时不会慌，这也算是意外的收获。

不过我发现，如今很多在机构上培训课的孩子完全没有这个意识。很多数学课都是先讲一个例题，然后让孩子做几个同类型的题。孩子会做了，就算掌握了。但孩子做题时其实已经先入为主地用了例题的思路。

我碰到的孩子中，有一个例外。他没有上过任何培训班，他的父亲是程序员出身，给孩子强调较多的就是：如果不会，就从简单的开始探索。这与我的观点不谋而合。我发现，引导这个孩子学数学特别顺利。

在二十多年前那场小升初入学考试中，我见到了许多从前没见过的题型。但对我而言，题型没见过已是常态，在考场上我可以用过去三个月里训练出来的能力去攻克它。我清晰地记得，等差数列求和的问题我之前没见过，但我硬是依靠尝试和总结，在考场上解决了这类问题。在那场入学选拔考试中，我最终考了全县第一名。

当然，没有葫芦强行画瓢也有坏处，那就是知识体系不够全面，碰到问题时会做得比较慢。

2020年7月23日，长征五号遥四运载火箭从海南文昌航天发射中心一飞冲天，带着“天问一号”开启前往火星的征途。

电视画面上，火箭发射时的速度看上去很慢，就像乌龟在爬行。火箭是从零开始逐渐加速的，所以刚刚从发射架上飞起来的时候速度是比较慢的，但是不要忘了，火箭一直在向后高速喷射着气体，从而获得巨大推力，产生一个向前的加速度。

理想的数学学习，也应该像火箭升空的过程一样，开始是缓慢的，厚积薄发，稳步加速，最终冲破重重阻力，一飞冲天，迈向未知的世界。

昍爸

2020年11月