2.4.3　极小曲面和优化准则

1）极小曲面

几何上，三维空间R3中平均曲率为零的曲面通常被称为极小曲面[26]，即满足某些约束条件下面积最小的曲面．在实际问题中，泡泡是极小曲面的典型实例，即闭曲线所张成的肥皂薄膜．由于肥皂薄膜的厚度非常小，所以可以忽略肥皂薄膜及附着在其上的液体的重量，也不考虑除肥皂薄膜表面张力以外的其他干扰因素，如外界的风力等，那么薄膜的势能在表面张力作用下便会达到最小值，从而必定使肥皂薄膜的曲面形状具有最小的面积[27]．

拉格朗日最早在1760年开始研究极小曲面相关问题，并且给出了此类曲面所满足的偏微分方程．考虑R3中函数u=u（x, y）的图像，其定义域为xy平面上的某个区域Ω.2.3.3节使用变分法原理证明了，如果某个函数图像在所有定义在区域Ω内，且在边界∂Ω上取值相同的函数图像中面积达到最小，则该函数必须满足偏微分方程定解问题式（2-33）．对应这里u=z，则

就是极小曲面方程．参见例2.3或者陈维桓的专著[26]．

注意，其中边界条件存在差别，所以不能直接套用2.3.3节的极小曲面方程，而是需要重新做一次类似的推导．

仍然假设函数u=u（x, y）满足极小化泛函式（2-35）和边界条件式（2-36）和式（2-37）．

温度u（x, y）用于刻画的曲面面积，但实际上带权的整体平均温度为

这里略去了对面积的平均．摄动函数为v=v（x, y），具有连续的偏导数，而且．

讨论泛函的驻点ε=0处

式中

结合边界条件式（2-36）和式（2-37）与函数v的任意性，并参照与定理1.6类似的结论（这里不推导），从上式就得出与式（2-32）相同的方程

再次代入，此时欧拉－拉格朗日方程为在Ω内满足

简单计算之后得到和式（2-38）一致的极小曲面方程表达式，这就是加权整体平均下温度分布满足的方程．

2）高导热材料填充模式的优化设计准则

上节的讨论引入了一个“加权整体平均温度”最低的优化目标，即泛函式（2-34），也就是式（2-35）的极小化．本节通过理论分析得出这种加权整体平均最小化的温度分布必要满足的方程为极小曲面方程式（2-41）．

这个数学问题是极小曲面方程的边值问题

这是一个非线性椭圆型偏微分方程的边值问题．上式中的两部分边界∂Ω0是绝热边界，∂Ω1是与外界有热交换的边界．

不过，这里需要解决的是高导热材料的分布问题，也就是如何将有限的高导热材料填充到元器件所在的平面上．

基本的想法是，通过改善温度高的地方的温度数值以达到整体降温的目的．如图2-6所示为没有添加高导热材料时元器件的温度分布，其中的每一点[即∀P（x, y）∈Ω]都是一个点热源，而两侧和上部边界以及底部边界的绝大部分（即∂Ω0）都是绝热的，中间长度为δ的开口（即∂Ω1）是用于热交换的（见图2-5）．由于没有高导热材料参与热量导出，此时的热量导出模式是一种自然导出模式．

假设底部的导热口是恒温的，即与外界有充分的热交换，那么，如何才能够将热量从内部导出到下部开口处？想法是，高导热材料从开口处不断地向内延伸．填充的过程和规则就是以已有被填充的点为中心，比较其周围的点的温度，在温度最高的点处填充高导热材料．如图2-7所示的填充方向，这种填充方法的原理是高导热材料填充到温度高的地方后，热量就会沿着高导热材料传导向散热口，从而达到降低整体平均温度的效果．

在具体填充办法的计算上，将整体方形元器件离散化为n×n个点，严格地说是n×n个小片．这里采取的是纵横均匀网格划分．这样，原来的点的温度u（P）=u（x, y）→u（i, j）（i, j=1, 2, …, n）通过其所在的小片转化成离散的点的温度．

3）简化曲面方程和算法

在实际讨论的体点问题数学模型中，假设元件区域内存在均匀内热源分布，在实际数值模拟过程中取该固定产热率为q=10 000 W/m2．

通过计算数据比较（见图2-6的数据），在不填充高导热材料的情况下，开口处保持300 K时，内部最高温度接近325 K，例如，当某个网格点处温度为319.803 5 K时，与其相邻的上、下、左、右四个网格点上的温度分别是319.887 3 K、319.717 3 K、319.810 8 K和319.796 1 K，说明在点附近的温差不超过1 K，即ux＜1, uy＜1．这样，标准化之后的ux和uy就更小，则u2x≪1, u2y≪1（即远小于1）．而填充高导热材料后该温度变化量将变得更小，在这种情况下，式（2-42）或者式（2-38）表示的极小曲面方程就可以近似表示成如下调和方程：

即加权整体平均温度最低时的温度分布函数可以近似使用调和函数来表示．

调和函数除了具有极值原理、解析性等性质之外，还有一个重要的性质，即平均值定理，参见参考文献[28].平均值定理是调和函数的一个本质特征．

定理2.1（平均值定理）　调和函数u，即满足式（2-43）的函数，在其定义域Ω内部任一点P0的值，等于它在以该点为圆心且全部包含于区域Ω中的任意圆盘上积分的平均值，也等于圆周：|PP0|=R}上的平均值，用公式表示为

如图2-8所示为区域Ω内的平均值定理．阴影部分为圆盘，它的边界为圆周．实际上，式（2-44），即平均值定理，是调和函数所具备的性质，反过来，如果一个函数在区域内都满足平均值定理，它就是一个调和函数．

平均值定理也提供了一个方法来比较平衡态下元器件内部各点的温度分布．

在计算流程上，每一次填充之后，如图2-7所示，都需要模拟计算温度分布情况．在温度的计算上，对于发热的元器件，假设整个散热优化过程中传热区域内每一点都以固定的产热率q生热．因此，在计算模拟中需要求解的是有源稳态热传导方程

式中，u为区域温度分布函数，K为导热系数．其边界条件与式（2-42）中的边界条件相同．计算上，导热系数K（x, y）有两种取值，一是没有填充高导热材料的，二是填充高导热材料之后的．通过比较如下差值：

即根据平均值定理使温度场曲面面积（即加权平均温度）趋于极小，由此来确定新的高导热材料填充位置点．

实际上，确定高导热材料的放置点就是基于平均值定理进行的．先考虑最大的位置，即中心点温度与以该点为中心的圆形邻域内平均温度之差的绝对值最大的位置．因为这些点相当于温度分布函数图像上最不“平滑”的位置点，当把高导热材料填充在这些位置点时，必然会最大限度地减少温度分布函数图像的不平滑性，其过程相当于“磨平”温度分布曲面上曲率最大位置点，从而达到使曲面的面积最大程度极小化的目的．

需要注意的一个问题是平均值定理中关于圆周或者圆盘邻域的选取．依据调和方程理论，无论圆盘或者圆周的半径取多大，只要能保证中心点周围的圆形邻域包含于函数定义域Ω内，平均值定理都是成立的．而通过计算发现，根据不同的半径计算所得的全场平均温度结果是不一样的，且并没有一定的规律性，而这恰好是需要放置高导热材料的原因所在．如果对不同的半径取值情况都进行模拟计算，计算量太大．在具体计算上，通过分析一些特定点的不同半径数值来确定整体区域的各点邻域半径，从而固定半径的大小．