4.5.1　二维随机变量及其分布函数

4.4节中对一维随机变量的概率分布进行了介绍，接下来将对二维随机变量及其分布函数进行讲解。通常采用联合分布律来表示二维随机向量的概率分布。

设随机试验E的样本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的随机变量，则称它们构成的向量（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量，二维随机变量（X，Y）的分布函数如下所示：

F（x，y）=P{（X≤x）∩（Y≤y）}=P{X≤x，Y≤y}

上述表达式也可以称为随机变量X和Y的联合分布函数，其中x和y为任意实数。

二维随机变量的分布函数满足以下几个性质：

（1）F（x，y）对每个变量都是不减函数，即对于任意指定的y，当x₂＞x₁时，F（x₂，y）≥F（x₁，y），对于任意指定的x，当y₂＞y₁时，F（x，y₂）≥F（x，y₁）；

（2）0≤F（x，y）≤1；

（3）F（x，y）关于x右连续，关于y右连续；

（4）对于任意的x₁≤x₂，y₁≤y₂，有如下等式成立：

P{x₁＜X≤x₂，y₁＜Y≤y₂}=F（x₂，y₂）-F（x₁，y₂）-F（x₂，y₁）+F（x₁，y₁）

1．二维离散型随机变量及其分布律

若二维随机变量（X，Y）所有可能取值为有限对或可列无限对时，则称（X，Y）为离散型随机变量，当且仅当X和Y都是离散型随机变量时，（X，Y）为二维离散型随机变量。

若二维离散型随机变量（X，Y）的所有可能取值为（x_i，y_i）（i，j=1，2，…），并且满足P{X=x_i，Y=y_i}=p_ij时，则称p_ij为二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布律，也可以称其为随机变量X和Y的联合分布律。

二维离散型随机变量分布律具有如下性质：

（1）0≤p_ij≤1，（i，j=1，2，…）；

（2）。

2．二维连续型随机变量及其分布律

与一维连续随机变量类似，对于二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x，y），如果存在非负的函数f（x，y），使得对任意的x，y有：

成立，则f（x，y）称为二维随机变量（X，Y）的联合密度函数，联合密度函数f（x，y）具有如下性质：

（1）f（x，y）≥0；

（2）；

（3）设G是xOy平面内任意一个区域，点(x，y)落在该区域的概率为：

（4）若f（x，y）在点（x，y）连续，则有