2.1 引言

建立控制系统的数学模型是分析和设计控制系统的首要工作。要实现对控制系统的分析和设计，首先就是要建立控制系统的数学模型。描述控制系统的输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式称为数学模型。其中，在静态条件下，描述变量之间关系的数学表达式称为静态数学模型，例如代数方程、静态关系表等都是常见的静态数学模型；描述各变量动态关系的数学表达式称为动态数学模型，例如微分方程、差分方程、传递函数、频率特性、状态方程、动态结构图等都是系统的动态数学模型。根据研究系统不同的方法，采用不同形式的数学模型。实际情况中，会遇到很多不同特性的系统，例如机械的、电气的、气动的、液压的，甚至还有经济学系统、气象系统、生物学系统等，这些系统表面上虽然没有任何相似和联系，但是它们却可能具有相同的动态数学模型，具有相同的运动规律，因此数学模型是反映实际系统的内在运动规律的一种数学抽象。

建立控制系统数学模型的方法有机理分析建模法和实验建模法两种。机理分析建模法也称为解析法，就是分析系统元件各部分静态关系和动态机理，然后根据它们所遵循的物理、化学定律（例如牛顿定律、基尔霍夫定律等）列写出变量之间的数学表达式的方法。实验建模法就是人为地给系统施加某种测试信号（例如脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等），记录其输出响应，然后选择合适的数学表达式（微分方程、差分方程等）近似地描述、逼近、辨识这种响应，从而得到系统或被控对象的数学模型。一般情况下，对于一些结构简单、容易分析运动机理的控制系统采用解析建模法，而对于结构复杂、难以分析其运动机理、非线性程度大的控制系统往往采用实验建模法。

建立合理的数学模型对系统的分析研究至关重要，实际的控制系统都具有不同程度的非线性、时变特性，一般应根据系统的实际结构参数及分析结果所要求的精度，忽略一些次要因素，简化系统数学模型结构，使数学模型既能准确反映系统的动态本质，又便于分析、计算。建模中最重要的简化就是对非本质非线性数学模型的线性化，严格地讲，实际物理系统都是非线性系统，只是非线性的程度不同而已。其中很多系统可以在一定条件下近似视为线性系统，线性系统满足叠加原理，能使系统的设计与分析大为方便；其次是将分布参数、变化很缓慢的参数，作为集中参数、不随时间改变的常数，做了这样的合理简化后，系统输入、输出及各中间变量都只是时间t的函数，所得到的是由线性常系数常微分方程描述的系统，即是本书研究的线性定常系统。