2.1.2 初等变换
矩阵中的元素排列成了行或者列，我们可以对行或者列施以如下操作：
● 互换两行（列）：
，（
表示行；
表示列，下同）
● 用一个非零数乘以一行（列）：
，（
表示一个常数）
● 一行（列）的
倍加到另一行（列）：
这些操作称为矩阵的初等行（列）变换（Elementary Row/Column Operations），统称为矩阵的初等变换。例如，要对矩阵
进行初等变换，如下所示。
（1）初等变换（
表示行）：
，得：
（2）初等变换：
，得：
（3）初等变换：
，得：
（4）初等变换：
，得：
（2.1.1）
经过一系列初等变换之后，最终得到了（2.1.1）式的矩阵。观察这个矩阵的形态，它具有如下特点：
● 零行（即元素都是
的行，如果有的话）在矩阵的最下方；
● 每个非零行的第一个元素，如
、
、
，称为这个矩阵的主元（pivot），主元位置下方的元素都是
。
具有上述特点的矩阵，称为阶梯形矩阵。再如，矩阵
也是阶梯形矩阵，其主元分别是1、
、16。
对（2.1.1）式矩阵还可继续进行初等变换：
（5）初等变换：
，得：
（6）初等变换：
，得：
（7）初等变换：
，得：
（2.1.2）
现在得到的矩阵仍然是阶梯形矩阵，此外，它还具有以下特点：
● 主元都是
；
● 每个主元所在的列的其余元素都是
，
具有这些特点的阶梯形矩阵称为简化阶梯形矩阵（Reduced Rowechelon Form，RREF）。
阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵，将在解线性方程组中有广泛应用（参阅2.4.2节）。
我们特别关注对单位矩阵所进行的初等变换，为此专门定义了初等矩阵。
单位矩阵经过一次初等变换而得到的矩阵，称为初等矩阵（Elementary Matrix）。
例如单位矩阵
，经初等变换之后所得的初等矩阵主要有以下三种形态：
● 两行互换，例如互换
第
行和第
行：
● 某行乘以非零数，例如第
行乘以
：
● 某行乘以一个数加到另一行，例如第
行乘以
，然后加到第
行：
如果仅仅用以上概念说明初等矩阵，并没有体现出它的用途。在2.1.5节矩阵乘法中，我们就能看到初等矩阵的一项应用了。
在2.1.1节已经用NumPy中的二维数组表示过矩阵，也可以用np.mat()创建矩阵对象，其实，在Python体系中，还有很多与科学计算相关的库提供了创建矩阵的方法，比如SymPy。
输出结果：
这样创建的就是矩阵对象，而不是用二维数组表示的矩阵。这个矩阵对象中提供了一个rref()方法，通过它能够得到此矩阵的简化阶梯形矩阵及其主元。
