1.3.1　极大线性无关组

以1.2节的图1-2-6中所示的子空间为例，在该子空间中，可以有无穷多个向量，这些向量构成了一个向量组或者多个向量组。假设有图1-3-1所示的几个向量，它们可以构成一系列的向量组，如：等向量组。考查这些向量组可以发现，有的向量组中的向量是线性无关的，比如；有的向量组中的向量是线性相关的，比如。但它们都可以生成同一个子空间。我们将不同向量组的这种现象，称为等价。严格的定义可以表述如下。

图1-3-1

定义　如果向量组A中的每个向量可以用向量组B中的向量以线性组合的形式表示（称为线性表出），反之，向量组B也可以由向量组A线性表出，则这两个向量组等价。

取一个向量组进行考查，下面列出几个与它等价的向量组：

●　

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在这些向量组中，只有两个向量的向量组都是线性无关的，只要再多一个，就线性相关了，于是就称像这样的向量组为极大线性无关组。

定义　某向量组的一个部分组，如果满足：

●　这个部分组线性无关

●　从向量组的其余向量中（如果有）任取一个添加进去，得到的新的部分组线性相关

那么称这个部分组为此向量组的一个极大线性无关组。

从上面的示例可以看出，一个向量组（或者说子空间，因为一个向量组生成一个子空间）可有多个极大线性无关组，并且这些极大线性无关组的向量个数相等且等价。对于极大线性无关组的这个特点，我们可以用“秩”的概念来描述。

定义　向量组的一个极大线性无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩（Rank）。如向量组的秩记作。

与向量组的秩类似，后面还会提到矩阵的秩（参阅2.5节），届时请读者对照理解。

有了向量组的秩这个概念，就可以更简洁地表述向量组，比如：两个向量组等价的充分必要条件是它们的秩相等，且其中一个向量组可以由另外一个向量组线性表出。