1.2.6　矩阵的初等变换

矩阵的初等变换是线性代数理论中的一个重要工具，它在解线性方程组、求逆矩阵及探讨矩阵相关理论时都起到了重要的作用。在初中数学中，我们就学过用高斯消元法求解二元及三元线性方程组，下面通过一个例子引入矩阵初等变换的概念。

引例1-2　利用高斯消元法求下面线性方程组的解。

解：

由此得到与式（1.6）同解的线性方程组：

取为任意数，则式（1.6）的解为

其中，为任意数。

在上述用高斯消元法解线性方程组的过程中，始终把方程组看作一个整体进行同解变形，用到了如下三种变换：

（1）互换两个方程的位置；

（2）用非零数乘某个方程；

（3）将某个方程的倍加到另一个方程上。

由于这三种变换都是可逆的，变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，所以这三种变换是同解变换。

注意：容易发现，线性方程组的消元过程中涉及的仅仅是系数和常数的变化，未知量并未参与运算。因而，方程组的同解变换完全可以转换为其增广矩阵的变换。对应地，可以归纳出矩阵如下三种初等变换。

定义1-18　矩阵的初等行（列）变换指对矩阵的行（列）施行下列三种变换：

（1）交换两行（列）［对调两行（列），记作（）］；

（2）用非零数乘以某一行（列）中的所有元素［第行（列）乘以，记作（）］；

（3）把矩阵某一行（列）所有元素的倍加到另一行（列）对应的元素上［第行（列）的倍加到第行（列）上，记作（）］。

定义1-19　矩阵的初等变换包含初等行变换与初等列变换。

因为方程组的三种变换都是可逆的，所以矩阵的三种初等变换也是可逆的，且满足下列关系。

初等变换的逆变换是同一类型的初等变换，且满足：

（1）变换的逆变换是其本身；

（2）变换的逆变换是；

（3）变换的逆变换是。

下面我们把式（1.6）的同解变换过程移植至它的增广矩阵

并通过矩阵的初等行变换来求解。

对应的线性方程组即式（1.7），由前述可知，从这种形式的方程组可以很容易地求出其解。

形如的矩阵称为行阶梯形矩阵，其特点是：可以画出一条阶梯线，线的下方全是0；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元。

形如的行阶梯形矩阵还可以称为行最简形矩阵，其特点是：首先，它是行阶梯形矩阵；其次，它的非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0。

由任何线性方程组确定的增广矩阵，可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵，并且行阶梯形矩阵的非零行数是由方程组唯一确定的。

对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以得到一种形状更简单的矩阵：

形如的矩阵称为的标准形矩阵，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素全是零，即。

例1-15　设，把化成行最简形矩阵。

定义1-20　对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵，称为初等矩阵。

我们知道矩阵有三种初等变换，而且对单位矩阵进行一次初等列变换，相当于对单位矩阵进行一次同类型的初等行变换，因此，初等矩阵可分为以下三大类。

（1）对调单位矩阵的第两行或第两列，得初等矩阵

（2）以非零数乘以单位矩阵的第行或第列，得初等矩阵

（3）设，以数乘以单位矩阵的第行后加到第行上，或以数乘以单位矩阵的第列后加到第列上，得初等矩阵

例如：对于一个三阶单位矩阵而言，进行不同的初等变换可以得到如下不同的初等矩阵。

（1）对调第2,3行，得。

（2）第1列乘以某个非零数，得。

（3）第2行乘以某数再加到第3行，得。

综上所述，矩阵的初等变换与初等矩阵密切关联，容易验证初等矩阵如下两个重要性质。

性质1-6　设矩阵

在矩阵的左边乘以一个阶初等矩阵相当于对矩阵做相应的初等行变换；在矩阵的右边乘以一个阶初等矩阵相当于对矩阵做相应的初等列变换，具体如下。

（1）相当于交换矩阵的两行；

相当于交换矩阵的两列。

（2）相当于以非零数乘以矩阵的第行；相当于以非零数乘以矩阵的第列。

（3）相当于以数乘以矩阵的第行后加到第行上；

相当于以数乘以矩阵的第列后加到第列上。

例1-16　设，利用初等矩阵实现下面的运算：

（1）对调矩阵第2,3列的位置；

（2）将矩阵的第2行乘以某个非零数；

（3）将矩阵的第1列乘以某数后加到第3列。

解：（1）在矩阵右边乘以一个初等矩阵，得

（2）在矩阵左边乘以一个初等矩阵，得

（3）在矩阵右边乘以一个初等矩阵，得

性质1-7　初等矩阵是可逆的，且其逆矩阵是同一类型的初等矩阵，即

（1）；

（2）；

（3）。

前面提到任何一个矩阵总可以通过初等变换化为其标准型矩阵，于是容易得到下面的定理。

定理1-4　设是一个矩阵，则必定存在阶初等矩阵及阶初等矩阵，使得

其中，是阶单位矩阵，，，全是零矩阵。

定理1-5　n阶方阵可逆的充分必要条件是经过有限次初等变换可化为单位矩阵。

推论1-2　n阶方阵可逆的充分必要条件是可表示为有限个初等矩阵的乘积。

称两个同型矩阵与是等价的，如果经过有限次初等变换可变为，记作。由性质1-7知初等变换是可逆的，因此，容易验证两矩阵等价满足：

（1）反身性，即；

（2）对称性，即若，则；

（3）传递性，即若且，则。

推论1-3 矩阵与等价的充分必要条件是存在可逆矩阵和，使得。

可利用初等变换求逆矩阵。

当可逆时，也可逆，且由推论1-2知，，其中是初等矩阵，则

由此可得：对矩阵进行初等行变换的过程中，当前列（的位置）化为时，后列（的位置）就化为。

例1-17　利用初等行变换求的逆矩阵。

解：因为

所以

有了上述通过初等行变换求逆矩阵的方法，矩阵方程（其中可逆）的求解可以做如下进一步简化。

当可逆时，有，其中是初等矩阵，则

由此可得：在对增广矩阵进行初等行变换的过程中，当前列（的位置）化为时，后列（的位置）就化为，即所求的。

例1-18　设矩阵方程，其中，

利用初等行变换求解未知矩阵。

解：因为

所以