2.3.5 伯努利方程

根据理想液体流动的微分方程，沿流线积分可得

或

式（2-22）称为理想液体的伯努利方程，也称为理想液体能量方程，它是在理想液体、稳定流动、微小流管、缓变流段的情况下推导而来的。

式中，p/ρg为单位质量液体具有的压力能，因其为具有长度的量纲，故也称为压力高度；z为单位质量液体具有的势能，在水力学中称为水头；为单位质量液体具有的动能。

物理意义：液体在流动中，具有3种形式的能量，分别是压力能、势能和动能，它们之间可以相互转换，但总和不变。因此，伯努利方程的物理意义就是能量守恒定律在流体力学中的具体表达式。

实际液体在管道内流动时，由于液体存在黏性，因此会产生内摩擦力，消耗能量；同时，管道局部形状和尺寸的变化，会使液流产生扰动，也消耗一部分能量。因此，实际液体在流动过程中，会产生能量损失，设单位质量的液体产生的能量损失为h_w。另外，由于实际液体在管道通流截面上的速度分布不均匀，因此在用平均流速v代替实际流速u计算动能时，必然会产生误差。为此，引入动能修正系数α。因此，实际液体的伯努利方程为

式（2-23）中动能修正系数α₁、α₂的值与液体的流态有关：紊流时，α=1；层流时，α=2。

【例2-1】 图2-11所示为液压泵吸油装置示意图。设油箱液面压力为p₁，液压泵吸油口处的绝对压力为p₂，液压泵吸油口距离油箱的液面为h，试计算液压泵吸油口处的真空度。

图2-11 例2-1液压泵吸油装置示意

解：以油箱液面为截面1-1，以液压泵吸油口为截面2-2，选择截面1-1为零势能面，选取动能修正系数₁α=α₂=1，对截面1-1和截面2-2建立实际液体的能量方程，按式（2-23）列出伯努利方程，即

在图2-11中，因油箱液面与大气接触，故p₁为大气压；v₁为油箱液面下降速度，由于v₁＜＜v₂，因此可以将v₁忽略不计；v₂为液压泵吸油口处液体的速度，它等于油液在吸油管内的流速；h_w为吸油管道的能量损失。因此，上式可简化为

液压泵吸油口处的真空度为

由此可见，液压泵吸油口处的真空度由3部分组成：把油液提升到高度h所需的压力，其值为ρgh；将油液加速到v₂所需的压力，其值为；吸油管内压力损失，其值为ρgh_w。