2.2.3 线性定常微分方程的求解

建立控制系统数学模型的目的之一是用数学方法定量研究控制系统的工作特性。当系统微分方程列写出来以后，只要给定输入量和初始条件，便可对微分方程求解，并由此了解系统输出量随时间的变化特性。线性定常微分方程的求解方法有经典法和Laplace变换法两种，也可借助计算机求解。本节只研究用Laplace变换法求解微分方程的方法，同时分析微分方程解的组成，为引入传递函数的概念奠定基础。

例2-2 图2-5所示的是电阻R、电容C和电感L组成的无源网络，若已知L=1H，C=1F，R=1Ω，且电容的初始电压u_o（0）=0.1V，初始电流i（0）=0.1A，电源电压u_i（t）=1V。试求电路突然接通电源时，电容电压u_o（t）的变化规律。

解 由基尔霍夫定律可列写出回路方程为

消去中间变量i（t），便得到描述网络输入输出关系的微分方程为

令U_i（s）=L[u_i（t）]，U_o（s）=L[u_o（t）]，且有

其中，是du_o（t）/dt在t=0时的值，即

对式（2-25）中各项分别取Laplace变换并代入已知数据，经整理后有

由于电路是突然接通电源的，故u_i（t）可视为阶跃输入量，即u_i（t）=1（t），或U_i（s）=L[u_i（t）]=1/s。对式（2-26）取Laplace反变换，便可得到式（2-25）无源网络微分方程的解u_o（t），即

在式（2-27）中，前两项是由输入电压产生的输出分量，与初始条件无关，故称为零初始条件响应；后一项则是由初始条件产生的输出分量，与输入电压无关，故称为零输入响应，它们统称为无源网络的单位阶跃响应。如果输入电压是单位脉冲量δ（t），相当于电路突然接通电源又立即断开的情况，此时U_i（s）=L[δ（t）]=1，无源网络的输出则称为单位脉冲响应，即

利用Laplace变换的初值定理和终值定理，可以直接从式（2-26）中了解网络中电压u_o（t）的初始值和终值。当u_i（t）=1（t）时，u_o（t）的初始值为

u_o（t）的终值为

其结果与式（2-27）求得的数值一致。

于是，用Laplace变换法求解线性定常微分方程的过程可归纳如下：

（1）考虑初始条件，对微分方程中的各项分别进行Laplace变换，将微分方程转换为变量s的代数方程。

（2）由代数方程求出输出量Laplace变换函数的表达式。

（3）对输出量Laplace变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即所求微分方程的解。