2.4.1　固有环节传递函数确定

固有环节包括系统的反馈元件、变换元件、功率驱动模块和执行元件等。在完成机电伺服控制系统的稳态设计之后，系统的固有环节也随之确定，固有结构框图如图2-25所示。据此可以着手建立系统的动态数学模型，即按照控制元件的顺序推导系统的固有传递函数。

1. 反馈元件的传递函数

从2.2.1节可知，反馈元件主要包括测角传感器、姿态传感器、转速传感器、电流传感器等，位置闭环伺服系统中主要用到测角传感器、转速传感器、电流传感器。测角传感器通常可近似认为是一阶惯性环节，其传递函数可表示为

式中，tr为时间常数；Kr为放大倍数。

转速测量可通过专用的测速传感器（如测速发电机）实现，也可通过对测角传感器输出的角度进行微分得到。测速传感器同样可近似认为是一阶惯性环节。

电流传感器（如霍尔电流传感器）也可近似认为是一阶惯性环节。电流传感器的时间常数远小于电流回路带宽，造成的系统相位滞后较小，通常可以忽略。因此，电流传感器的传递函数可用电流反馈系数β表示。

2. 变换元件的传递函数

位置闭环伺服系统中所用到的变换元件如RDC、A/D转换器、D/A转换器等，同样可近似认为是一阶惯性环节，其时间常数为变换频率的倒数。一般来说，变换元件的变换频率（1kHz以上）远远高于伺服带宽（几十赫兹以内），引入变换元件造成的系统相位滞后较小，通常可忽略。因此，变换元件的传递函数可用比例系数K来表示。

3. 功率驱动模块的传递函数

功率驱动模块通常采用脉宽调制（PWM）放大器，PWM放大器可看成时间常数为tv（tv=1/f，f为晶体管的开关频率）的一阶惯性环节。f一般取几至几十千赫兹。同样，对于位置闭环伺服系统，PWM放大器造成的系统滞后较小，可将PWM放大器视为比例环节。

4. 执行元件的传递函数

执行元件是将电能转换为机械能的装置，它位于伺服系统的末端。通常在考虑执行元件的固有特性时，会将电动机及其负载综合考虑在内。执行元件的传递函数是整个系统固有环节中最重要、最复杂的，其输入为PWM放大器输出的电压，输出为传动链末端元件的转角。若电动机采用直流伺服电动机，则执行元件的机电传动框图可简化为如图2-26所示的形式，此时执行元件的传递函数框图如图2-27所示。

执行元件的传递函数可表示为

式中，Gui(s)、GiT(s)、GTω(s)、Gωθ(s)分别为相应环节的传递函数，可由电动机的电压平衡方程、机电联系方程、机械运动方程和传动链换算方程得到。推导过程如下。

首先，假设负载力矩仅为惯性力矩，根据直流他励电动机的机电联系方程和机械运动方程，可得

式中，ω为电动机轴转速；和分别为转换到电动机轴的总惯性力矩和电动机电磁力矩；i为电动机电枢电流；为电磁力矩系数。为电动机转动惯量和负载转动惯量折算至电动机轴上之值的和。

同时，利用电动机的电压平衡方程，可得

式中，Cω为反电势系数；L为电枢电感；R为电枢电阻。联立式（2-25）和式（2-26），并进行拉普拉斯变换，可得从电枢电压到电枢电流的传递函数为

式中，tm=JsR/CeCω为电动机的机电时间常数；te=L/R为电磁时间常数。

根据以上推导过程，可得到GiT(s)、GTω(s)的表达式如下：

再依据传动链换算关系，可得Gωθ(s)的表达式为

最后将式（2-27）～式（2-29）代入式（2-24），即可得执行元件的固有传递函数为

以上过程即完成了执行元件固有传递函数的建立。需要注意的是，在对传动链和负载进行建模时，将机械系统等效为刚体系统，等效的前提是执行元件系统的整体刚度足够高，柔性谐振频率距离最大工作频率足够远。然而，对于柔性谐振频率较低的机电伺服控制系统（如大型雷达天线伺服系统），机械结构的谐振特性不可忽略。对于该类型的伺服系统，在建立执行元件的固有传递函数的过程中，还需进一步考虑机械结构的谐振特性。