3.4 信道容量的概念

信道容量是指信道中信息无差错传输的最大速率。下面介绍香农的信道容量，人们常用香农的信道容量公式估算实际信道最大的信息传输能力。

1.香农公式

考虑图3-20所示信道，给定发送信号s（t）的平均功率为S（W）、信道带宽为B（Hz），信道中加性高斯白噪声（AWGN）的双边功率谱密度为n₀/2（W/Hz），则可以证明该信道的信道容量（单位为bit/s）为^[2]

上式就是著名的香农（Shannon）信道容量公式，简称香农公式。它表明当给定发送信号s（t）的平均功率为S（W）、信道带宽为B（Hz），信道中加性高斯白噪声（AWGN）的双边功率谱密度为n₀/2（W/Hz）时，该信道理论上单位时间内可传输信息量的极限数值。理论上讲，只要传输速率小于等于信道容量，则总可以找到一种信道编码方式，实现无差错传输，若传输速率大于信道容量，则不可能实现无差错传输。

图3-20 AWGN信道

（1）可以这样理解公式（3-39），给定信道带宽为B（Hz），信道无衰减（注意信道有衰减时要另当别论），发送信号平均功率为S（W）给定，噪声是加性高斯白噪声（功率谱密度为有限值，给定，且已知），在这些条件下推导得到了香农信道容量公式（3-39），该公式表明在这些条件下，信道可传输的最大信息速率。

（2）对于如图3-15所示线性滤波器信道和图3-18所示时变线性滤波器信道，S可以认为是接收端信号功率，B为滤波器带宽。

由香农公式可得以下结论：

1）增大信号功率S可以增加信道容量，若信号功率趋于无穷大，则信道容量也趋于无穷大，即

2）减小噪声功率N=n₀B（或减小噪声功率谱密度n₀）可以增加信道容量，若噪声功率趋于零（或噪声功率谱密度趋于零），则信道容量趋于无穷大，即

3）增大信道带宽B可以增加信道容量，但不能使信道容量无限制增大。信道带宽B趋于无穷大时，信道容量的极限值为

上式表明，保持S/n₀一定，即使信道带宽B→∞，信道容量C也是有限的，这是因为信道带宽B→∞时，噪声功率N也趋于无穷大。

香农公式给出了通信系统所能达到的极限信息传输速率，达到极限信息速率的通信系统称为理想通信系统。但是，香农公式只证明了理想通信系统的“存在性”，却没有指出这种通信系统的实现方法。因此，理想或性能优异的通信方式还需要不断探索。

二维码3-3

2.香农公式的应用举例

由香农公式（3-39）可以看出：对于一定的信道容量C来说，信道带宽B、信号噪声功率比S/N及传输时间三者之间可以互相转换。若增加信道带宽，可以换来信号噪声功率比的降低，反之亦然。如果信号噪声功率比不变，那么增加信道带宽可以换取传输时间的减少，等等。如果信道容量C给定，互换前的带宽和信号噪声功率比分别为B₁和S₁/N₁，互换后的带宽和信号噪声功率比分别为B₂和S₂/N₂，则有

B₁log₂（1+S₁/N₁）=B₂log₂（1+S₂/N₂）

由于信道的噪声单边功率谱密度n₀往往是给定的，所以上式也可写成

例如，设互换前信道带宽B₁=3kHz，希望传输的信息速率为10⁴bit/s。为了保证这些信息能够无误地通过信道，则要求信道容量至少要10⁴bit/s才行。

互换前，在3kHz带宽情况下，使得信息传输速率达到10⁴bit/s，要求信噪比S₁/N₁≈9。如果将带宽与信号功率（信噪比）进行互换，设互换后的信道带宽B₂=10kHz。这时，信息传输速率仍为10⁴bit/s，则所需要的信噪比S₂/N₂=1。

可见，信道带宽B的变化可使输出信噪功率比也变化，而保持信息传输速率不变。这种信噪比和带宽的互换性在通信工程中有很大的用处。例如，在宇宙飞船与地面的通信中，飞船上的发射功率不可能做得很大，因此可用增大带宽的方法来换取对信噪比要求的降低。相反，如果信道频带比较紧张，如有线载波电话信道，这时主要考虑频带利用率，可用提高信号功率来增加信噪比，或采用多进制的方法来换取较窄的频带。

虽然举例讨论的是带宽和信噪比的互换，从香农公式可以看出，带宽或信噪比与传输时间也存在着互换关系，在此不再赘述。