2.3　拉格朗日型的Navier⁃Stokes方程

对控制方程的描述有两种形式:欧拉描述法和拉格朗日描述法。欧拉描述法是对空间点的描述,而拉格朗日描述法是对物质点的描述。流体的流动过程可以用欧拉方程以及适当的状态方程来表示,这些方程表示了质量、动量和能量守恒。如果用上标α和β来表示坐标方向和求和重复指标,采用时间全导数形式,N⁃S方程组可以表示为:

连续性方程

=-ρ(2⁃13)

动量方程

=-×(2⁃14)

能量方程

=-×(2⁃15)

在以上方程中,σ为总应力张量,由两部分组成:一部分是压力p,另外一部分是黏性应力τ。

σαβ=-pδαβ+ταβ(2⁃16)

对于牛顿流体,黏性剪应力与剪应变率ε成比例,且比例系数为黏性系数μ。

ταβ=μεαβ(2⁃17)

其中

εαβ=+-(Δ·v)δαβ(2⁃18)

如果将压力与黏性应力分开写,我们可以得到如下的能量方程

=-+εαβεαβ(2⁃19)

在式(2⁃13)~式(2⁃19)中,各字母代表的意义如下:

v——速度向量;

e——内能;

ρ——密度;

p——压力;

t ——时间。