10　万有引力定律

引力的规律要如何找呢？

前面说了，引力非常微弱，地面物体之间的引力非常小。想通过观测它们来总结引力的规律，怕是行不通。所以，我们把目光转向了天上。月亮围着地球转，地球和其他行星围着太阳转，一些大的行星（比如木星和土星）还有一堆卫星围着它们转，这些肉眼可见的天文现象可都是引力主导的啊。

于是我们夜观星象，把星体的运动轨迹都记录下来（一个叫第谷的人在这方面做得极好）。然后分析它们的运动轨迹，从中找出一些星体的运动规律（第谷的学生开普勒发现了行星运动的三大定律）。最后根据这些定律，利用数学和物理知识反推出让星体这样运动的力应该具有什么样的性质。

这一步，很多科学家都在走，但牛顿凭借他卓越的数学和物理才华（唯一一个同时稳居数学、物理前三名的人），第一个走出了迷宫，给出了描述引力的精确定律，并用它成功解释了当时一切跟引力相关的运动现象。这一仗，牛顿大获成功，这个能精确描述引力的定律，被称为万有引力定律。

牛顿是如何得到这个定律的，这里不细说。我们先来直观地感受一下，来猜一猜这个定律应该长什么样。毕竟它号称能精确描述万有引力，我们看看它的描述跟我们的直观感受是否冲突。

大家知道，任何两个物体之间都有引力，而且质量越大，引力越大。那么，引力就只跟质量有关吗？太阳的质量比地球大得多，为什么我们没有被太阳吸走？答案当然是：因为地球距离我们更近。

所谓强龙压不过地头蛇，我的地盘我做主，任何势力都有它的范围，引力亦然。所以，除了质量外，引力还应该跟距离有关。而且容易想象，引力跟质量、距离的关系，一定是质量越大，引力越大；距离越大，引力越小。

这不是什么问题，真正的问题是：它们之间定量的关系到底是怎样的？把质量增大到原来的2倍，引力会增大多少？把距离扩大为原来的2倍，引力又会减小多少？只有把这个关系搞清楚了，才能精确地计算引力，才算搞定了引力。

先来看引力和质量的关系。

假设有两个1kg的铁球，它们之间有一定的引力。那么，如果其中一个铁球的质量从1kg增加为2kg，你觉得引力会变成多少？是原来的2倍（1×2）、3倍（1+2），还是其他什么的？理论上来说，应该是2倍，也就是说质量之间应该是乘法关系。因为我可以把2kg的铁球看成两个1kg的铁球，那每个1kg铁球的引力就和原来的一样，新的引力自然就是原来的2倍。所以，两个物体之间的引力F应该和这两个物体的质量m₁、m₂的乘积成正比。其中任何一个物体的质量增加为原来的多少倍，它们之间的引力就增加为原来的多少倍。

引力和质量的关系还好说，真正困难的是和距离的关系。

假设两个小球相距1m，现在它们之间的距离扩大为2m。那么，它们之间的引力会减小为原来的多少呢？是原来的1/2、1/4，还是1/8呢？

有人说你可以去做实验啊，看看把两个小球之间的距离增加一倍以后，它们之间的引力会缩小为原来的几分之一。但是，引力的实验不好做啊。因为引力非常微弱，地面上两个物体之间的引力很难测量。而且，引力是万有的，我们很难屏蔽其他物体对实验的影响。

引力有显著作用的地方，还是在天上。开普勒就是从星体运动的轨道数据里发现了行星运动三大定律，牛顿从这里打开了思路，最终发现（其实胡克、哈雷等人也发现了）引力跟距离的平方成反比。也就是说，如果两个物体之间的距离变为原来的2倍，它们之间的引力就减小为原来的1/4；距离变为3倍，引力就减小为原来的1/9。

其实，平方反比定律在自然界非常常见。

大家想想圆的周长公式C=2πr，周长跟半径（即半径的1次方）成正比。圆的面积公式S=πr²，球体的表面积公式S=4πr²，面积跟半径的平方（2次方）成正比。圆球的体积公式V=4πr³/3，体积跟半径的立方（3次方）成正比。发现没有，周长跟半径的1次方成正比，面积跟半径的2次方成正比，体积跟半径的3次方成正比。

现实世界是三维的。这就意味着，如果有个东西爆炸了，它释放出来的能量就会以球面的形式向外扩散。比如，某个爆炸产生的冲击波1s传播1km，那么，2s后这个冲击波就会向空间各方向传播2km，组成一个半径为2km的二维球面。

球的表面积公式是S=4πr²，于是，我们可以粗略地认为：爆炸源的能量每时每刻都被平均分给了4πr²个部分，它跟半径r的平方有关。

这就是各种平方反比定律更深层次的来源。

同样，如果我们的空间是四维的，你就会看到各种立方（3次方）反比定律，这也是科学家们检验是否存在高维空间的一种办法。

好，理解了这些，引力跟距离的平方成反比就非常正常了。于是，我们就知道了：两个物体之间的引力F跟两个物体的质量m₁、m₂成正比，跟它们之间距离r的平方成反比。写成公式就是：

这就是大名鼎鼎的万有引力定律，是牛顿力学里描述引力的公式。下图中F表示引力，因为引力是相互的，你吸引我，我也吸引你，而且这种吸引力大小相等、方向相反，图里就用F₁、F₂分别表示。因为质量越大，引力越大，所以分子就是两个物体质量m₁和m₂的乘积。因为空间是三维的，所以引力的大小跟距离的平方成反比，于是分母是r²。最外面的G是万有引力常数，数值大概是6.67×10^–11N·m²/kg²。

有了这个公式，理论上，只要我们知道两个物体的质量和它们之间的距离，就能算出引力。知道了引力F，根据牛顿第二定律F=ma就能求出物体的加速度a，进而知道物体的运动情况。

于是，一个完美的引力闭环就形成了。我们终于可以同时掌握上游的引力计算、中游的引力转加速度以及下游的用加速度分析运动了。

既然任督二脉已经打通，内循环也转了起来，要不，我们用牛刀杀一只鸡试试？