1.8　Wold表述和Volterra扩展

假设{yt}是单变量，为均值等于0的平稳过程。Wold（1938）证明了当yt是纯粹的非确定性时（意味着在无限的过去不存在线性预测信息，可参阅Brockwell和Davis，1996，p180），则总是存在式（1-12）所示的表述式

其中，{εt}是服从均值为0的白噪声序列，由于是白噪声序列，也就意味着var{εt}=σ2，cov{εt,εs}=0，t≠s。我们并不要求式（1-12）中的滞后期q的最大值是有限的，也可以是无限的。式（1-12）的等式表明在均方意义上也是相同的。特别地，等式两边具有相同的均值、方差以及自协方差。类似地，多元Wold表述也是有效的，yt是一个向量，则有

εt是以向量呈现的白噪声，协方差矩阵为Σε。有关数学的完整表述方法，包含时频不确定性关系，可参阅Tjøstheim（1976a,b）的论述。

Wold表述是非常有用的，不过，如果忽略在均方意义上也为相同的这一事实，那就有可能是滥用。

将Wold表述推广到非线性之中，被称为Volterra扩展的规范的非线性的拓展的单变量的表述式是

其中，θ0=1，且{εt}～iid（0,σ2）。即使通过截断成两个或三个主要成分的近似扩张，在模型的估计和解释方面难度依然较大。因此，这种方式很少使用。更深入的讨论可参阅Priestley（1988，pp.26-31）或者第3.5节的论述。