第1章　概念、模型和定义

1.1　非线性的定义

首先，我们有必要对非线性进行确切的界定。特别是，本书又是专门讲述非线性模型的，因此，对非线性的界定就显得更为重要。为此，需要先理解线性的定义，线性范畴之外就为非线性。为了对一些看似违背常理的问题进行说明，考虑一个简单的模型

yt=α+βyt-1+γxt+εt

（1-1）

其中，{εt}～iid（0,σ2），也就是说，εt是服从均值为0、方差为σ2的独立同分布，且与变量xt和yt-1都独立。如果xt是一个不同于yt-1的经济变量，换句话说，xt不是yt-1的函数，那么，可把式（1-1）归类为线性模型。然而，假设yt=lnCt，Ct代表消费，那么，式（1-1）依然是线性的吗？对于被解释变量yt而言，可以认为是线性的，不过，若把Ct看成被解释变量的话，就可以当作非线性模型。同理，如果xt=lnIt，其中，It代表收入，同样，对于式（1-1）而言，尽管y与x仍然呈现线性关系，但消费与收入之间表现为非线性关系。一个很明显的非线性模型为

yt=α+βyt-1+γ1lnIt+γ2It-1+εt

为了理解线性的概念，先考察依赖于解释向量zt的变量yt，其中，向量zt包含y的滞后项。如果

E{yt|zt}=α′zt+g（zt）

那么，在线性部分α′zt和非线性部分g（zt）中，只要g（zt）≡0，也就是说，在不存在非线性部分时，条件均值模型就是线性的。Lee、White和Granger（1993）使用过这种定义（假定如果yt是某个其他变量的函数，例如vt，那么，向量zt中的任一变量都不是vt的函数，也就是说，尽管vt和zt都影响yt，但vt不影响zt）。

式（1-1）另一种非线性形式是以“参数”刻画的。比如，如果采用式（1-2）的形式

yt=α+βyt-1+β2xt+εt

（1-2）

这种形式不仅参数之间存在约束，而且还是非线性的。尽管在估计和检验中具有潜在的重要性，但本书并不把类似式（1-2）的模型归为非线性的。

然而，给出一个令人满意的线性定义并不容易，它比想象的要难。一个关于线性过程的明显例子是移动平均MA（q）过程

其中，{εt}～iid（0,σ2），且{θj,j=1,…,q}为一组权重。我们已经发现，闭包［即在所谓的Mallows拓扑中，随着q→∞，MA（q）过程的集合］具有相当复杂的性质，并且可能包含很多非线性过程。相应内容可参考Bickel和Buhlmann（2003）。这个结果尽管有趣，但学术上高度专业，在实际应用中可忽略不计，因此，在这里不做重点阐述。

在后面的章节中将会看到，在所讨论的众多模型中，线性模型仅仅是一个小的子类，众多的模型基本上构成非线性模型族。事实上，在本书讲述的所有模型中，除了第2.1节的非均衡模型、第3.7节的最小-最大模型以及混沌模型，线性模型只是特例。在经济数据的应用方面，这并不意味着非线性模型要比线性模型好。尽管可能检测到是非线性的，但更常见的是总是很难抛开最佳线性模型，尤其是在宏观经济应用方面。