1.5 近壁面模型

前面介绍的k-ε模型是针对充分发展的湍流、高Re数的湍流模型。但对于近壁区的流动，Re数较低，湍流发展并不充分，湍流的脉动影响不如分子黏性的影响大。要对近壁区内的流动进行模拟计算，则必须对前面所述的k-ε方程进行修正。壁面函数法和低Re数k-ε模型均可有效解决近壁区，以及低Re数情况下的流动计算问题。

在无滑移壁面附近，存在很强的变量梯度。此时，黏性效应对输运过程有很大影响，在数值模拟过程中就需考虑壁面的黏性效应和边界层内快速变化的变量的求解这两大问题。

试验研究表明，对于在固体壁面上充分发展的湍流流动，沿壁面法线方向，可将流动区域划分为壁面区和核心区。核心区的流动可以认为是完全湍流区。壁面区又可分为黏性底层、过渡层和对数律层^［7］。

黏性底层在最里层，又叫黏性力层，流动区域很薄，在这个区域里，黏性力在动量、热量及质量交换中都起主导作用，湍流切应力可以忽略，因此流动几乎是层流流动，平行于壁面的速度分量沿壁面法线方向呈线性分布。

过渡层处于黏性底层的外面，其中黏性力与湍流切应力作用相当，流动状况比较复杂，很难用一个公式或定律来表述。由于过渡层的厚度极小，故计算中将其归入对数律层。

对数律层处于最外层，其中黏性力的影响不明显，湍流切应力占主导地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数关系。

为建立壁面函数，引入两个无量纲参数u⁺和y⁺，分别表示速度和距离，即

式中 u——流体的时均速度；

u_τ——壁面摩擦速度，；

τ_w——壁面切应力；

Δy——网格到壁面的距离。

大量试验表明，近壁面区域可以分成三层区域。如图1-3所示，以lny⁺为横坐标，u⁺为纵坐标，将壁面区内划分为三个子层及核心区内的流动。图1-3中的小三角形及小空心圆代表在两种Re数下实测得到的速度值u⁺，直线代表对速度进行拟合后的结果。

根据普朗特的边界层理论，黏性较小的流体绕流物体时，黏性的影响仅限于贴近物面的薄层内，而在这薄层之外可以忽略。在这个薄层内，形成一个从固体壁面速度为零到外流速度的速度梯度区，这一薄层即边界层。

合适的边界层网格分布是用好湍流模型的关键因素之一。边界层网格质量的控制可通过控制y⁺值范围来实现，一般对于壁面函数法，要求30<y⁺<100；对低雷诺数模型，要求y⁺<2。根据要控制的y⁺值范围，可确定边界层内网格节点和壁面间的最小距离Δy，按式（1-16）确定。

式中 L——特征长度，单位为m；

Re——特征长度处对应的雷诺数。

假设近壁面的速度分布符合对数函数，那么在边界层内可以计算得出流体的剪切应力，该函数即壁面函数。通常，近壁面区域流动分析有两种方法：壁面函数法和低Re数k-ε模型法。

（1）壁面函数法

采用壁面函数法的半经验公式可解决壁面对流动的影响，对受黏性力影响的区域（黏性力层及过渡层），其壁面方程的运用能够很好地修正湍流模型。对于大多数高雷诺数的流动，壁面函数法能充分节省计算资源，因为在近壁面黏性力影响区域，由于变量变化太快，不需要解决，这种方法经济、实用而且很精确，很受欢迎。

壁面函数法的基本思想为：对于湍流核心区的流动采用k-ε模型求解，而不求解壁面区，换为直接采用半经验公式将壁面上的物理量与湍流核心区内的求解变量联系起来，这样不经过对壁面区内的流动进行求解，就可以直接得到与壁面相邻控制容积的节点变量值。

在划分网格时，壁面函数法不需要加密壁面区，只需要将第一个内节点布置在对数律成立的区域内，即放置到湍流充分发展区域，如图1-4a所示。图1-4a中阴影部分为壁面函数公式有效的区域，在阴影以外的网格区域则为采用高Re数k-ε模型进行求解的区域。壁面函数如同一架桥梁，将壁面值同相邻控制容积的节点变量值联系起来。

（2） 低Re数k-ε模型法

壁面函数法的表达式主要根据简单平板流动边界层的试验资料归纳获得，并未对壁面区内部尤其是黏性底层内的流动进行细致研究，分子的黏性作用没有得到充分考虑。为了能够让基于k-ε模型的数值计算能从高Re数区域一直延伸到固体壁面上（该处Re数为零），有学者提出低Re数的流动主要体现在黏性底层中，流体的分子黏性起着绝对重要的作用，因此必须对高Re数k-ε模型进行以下三方面的修正，才能使其可用于计算各种Re数区域的流动^［8］。

① 为体现分子黏性的影响，控制方程的扩散系数项必须同时包括湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。

② 控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响，即在系数计算公式中引入湍流雷诺数。

③ 在k方程中考虑壁面附近湍动能的耗散不是各向同性这一因素。

对于壁面边界，通常指定壁面处流体的切向速度u_w为零，即壁面无滑移边界条件；与壁面垂直的速度v，由于在壁面附近∂u/∂x≈0，根据连续性方程，∂v/∂y≈0。对于无黏性流动，流体在壁面处无剪切运动，即壁面为滑移边界条件。

在固体壁面的黏性底层中，流动与换热的计算可以采用低Re数k-ε模型或壁面函数法。采用低Re数k-ε模型时，要在黏性底层中布置比较多的节点。采用高Re数k-ε模型，在黏性底层内不布置任何节点，把与壁面相邻的第一个节点布置在充分发展的湍流区域内，如图1-4b所示。

用壁面函数来表示边界层的速度、温度、湍流能量等物理量的分布。在边界层区域内，流体的湍流效应十分显著，高Re数模型在此区域内就不再适用了，有时为了减少在壁面附近网格的数量，又不得不采用高Re数k-ε模型，故采用壁面函数法来计算壁面处的湍流物理量。