1.3 数制与数制转换
进位计数制（简称数制）是按进位的方式来计数，并用一组固定的数字和一套统一的规则来表示数目的方法。由于计算机内一律采用二进制表示数据，而人们日常生活中常用十进制来表示数据，所以学习数制及其转换十分必要。
进位计数制有数位、基数和位权三个要素，含义如下。
● 数位：指数码在一个数中所处的位置。
● 基数：指在某种进位计数制中，每个数位上所能使用的数码个数。
例如，二进制数基数是2，每个数位上所能使用的数码为0和1两个数码。
● 位权：对于多位数，处在不同位置上的数字所代表的值是确定的，这个固定位上的值称为位权。
例如，二进制数第二位的位权为2，第三位的位权为22。对于N进制数，整数部分第i位的位权为Ni-1，而小数部分的第j位的位权为N-j。
一般用（ ）角标表示不同进制数。例如，十进制用（ ）10表示，二进制数用（ ）2表示。另外也可以在数字后面用特定字母表示该数的进制，如用B表示二进制，用D表示十进制（D可省略）。例如，（1101）2和（1101）B均表示二进制数1101，而（32）10、（32）D、32均表示十进制数32。
1.3.1 二进制
计算机内部使用二进制的主要原因是电路简单、可靠性强、运算简化及逻辑性强。
计算机内信息的表示形式是二进制数字编码。也就是说各种类型的信息（数值、文字、声音、图像）必须转换为二进制数字编码形式，才能在计算机中进行处理。
1.3.2 不同进位的计数制介绍
1.十进制（Decimal Notation）
十进制的特点如下。
● 有十个数码：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
● 逢十进一。
设任意一个十进制数D，具有n位整数，m位小数，则该十进制数可以表示为
D=Dn-1×10n-1+Dn-2×10n-2+…+D1×101+D0×100+D-1×10-1+…+D-m×10-m
上式称为“按权展开式”。
『举例』将十进制数（215.48）10按权展开。
解：（215.48）10=2×102+1×101+5×100+4×10-1+8×10-2
2.二进制（Binary Notation）
二进制的特点如下。
● 有两个数码：0、1。
● 逢二进一。
设任意一个二进制数B，具有n位整数，m位小数，则该二进制数可以表示为
B=Bn-1×2n-1+Bn-2×2n-2+…+B1×21+B0×20+B-1×2-1+…+B-m×2-m
『举例』将二进制数110011.01按位权展开。
解：（11001. 01）2=1×24+1×23+0×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=（25.25）10
3.八进制（Octal Notation）
八进制的特点如下。
● 有八个数码：0，1，2，3，4，5，6，7。
● 逢八进一。
设任意一个八进制数O，具有n位整数，m位小数，则该八进制可按权展开为
O=On-1×8n-1+On-2×8n-2+…+ O1×81+O0×80+O-1×8-1+…+O-m×8-m
『举例』将（654.23）8按权展开。
解：（654.23）8=6×82+5×81+4×80+2×8-1+3×8-2=（428.296875）10
4.十六进制（Hexadecimal Notation）
十六进制的特点如下。
● 有十六个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。
● 逢十六进一。
十六个数码中的A、B、C、D、E、F六个数码，分别代表十进制数中的10、11、12、13、14、15。
设任意一个十六进制数H，具有n位整数，m位小数，则该十六进制可按权展开为
H=Hn-1×16n-1+Hn-2×16n-2+…+ H1×161+H0×160+H-1×16-1+…+H-m×16-m
『举例』将（3A6E.5）16按权展开。
解：（3A6E.5）16=3×163+10×162+6×161+14×160+5×16-1=（14958.3125）10
1.3.3 二进制与十进制数的转换
不同进位计数制之间的转换，实质是基数转换。
一般来说，通常需要分别对整数部分和小数部分进行转换。
（1）二进制数转换为十进制数
方法：按权展开求和即可。
『举例』将二进制数（10110.11）2转换成十进制。
（10110.11）2=1×24+0×23+1×22+1×21+0×20+1×2-1+1×2-2=（22.75）10
（2）十进制数转换为二进制数
方法：整数部分采取“除2取余法”，小数部分采取“乘2取整法”。
『举例』将十进制（179.48）10转换为二进制数。
即（179.48）10=（10110011.01111010）2