2.4 框图及其等效变换

在控制工程中，为了便于对系统进行分析和设计，常将各元件在系统中的功能及各部件之间的联系用图形来表示，即框图和信号流图。两者都能表示系统中各变量之间的因果关系，以及对各变量所进行的运算，能形象、简洁地描述控制系统中较为复杂的系统。系统框图是描述各元、部件动态特性的图示模型，从结构上可以用方框进行数学运算，也可以直观地了解各元、部件的相互关系及其在系统中所起的作用，重要的是从系统框图中可以方便地求出系统的传递函数。所以，系统框图也是控制系统的一种数学模型，既适用于线性系统，也适用于非线性系统。

2.4.1 框图的定义及组成

框图又称为结构图，具有形象和直观的特点。框图由许多对信号（量）进行单向运算的方框和一些信号流向线组成，具体地，其由信号线、引出点、比较点和方框组成。

1）信号线。信号线是带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向，线上标记所对应的变量，如图2-13a所示。

2）引出点（或分支点）。引出点表示信号引出或测量的位置。从同一位置引出的信号，其大小和性质完全相同，如图2-13b所示。

3）比较点（或综合点）。表示对两个或两个以上的信号进行加减运算，“+”号表示信号相加，“-”号表示相减，“+”号可以省略不写，如图2-13c所示。

4）方框（或环节）。方框表示对信号进行的数学变换，方框中为环节（或系统）的传递函数，如图2-13d所示。显然，方框的输出量等于方框的输入量与传递函数的乘积。

绘制控制系统框图的一般步骤如下。

1）分析控制系统的工作原理，找出被控对象。

2）明确系统的输入量、输出量。

3）绘制各个环节的框图（一般先求出各环节的微分方程，然后转换为传递函数来表示每个环节）。

4）从输入端开始，按信号流向依次将各环节框图用信号线连接成整体，即得控制系统框图。

【例2-19】 如图2-14所示，U_c（s）、U_r（s）分别为RC电路的输入、输出电压，试建立相应的电路框图。

解：根据基尔霍夫定律，列写电路方程如下：

U _r（s）-U_c（s）=U₁（s）

U _c（s）=R₂I（s）

依据上述各个方程，绘制相应的子框图，分别如图2-15a、b和c所示，依照信号的流向，将各个子框图依次连接起来，即得RC无源电路的框图，如图2-15d所示。

【例2-20】 试绘制图2-16所示的两级RC电路网络的框图及其传递函数。

解：依据基尔霍夫定律，可知该电路网络的微分方程为

在零初始条件下，对上述方程取拉普拉斯变换，有

各个环节的框图如图2-17所示。

从输入量开始，将同一变量的信号线连接起来，即可得两级RC电路网络的框图。如图2-18所示。

2.4.2 框图的等效变换

一个实际系统的框图，一般都是由许多子系统的框图有机连接组成的，其方框间的连接必然是错综复杂的，为了得到系统输入量与输出量之间的传递函数，必须要对系统框图进行等效变换。框图的等效变换必须遵守一个基本原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。在控制过程中，任何复杂系统的框图主要由相应的方框经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。因此，框图简化的一般方法是移动引出点或比较点，交换比较点，进行方框运算将串联、并联和反馈连接的方框合并。

1. 串联

在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联。如图2-19a所示，传递函数分别为G₁（s）与G₂（s）的两个环节以串联方式连接，G₁（s）环节的输出信号为G₂（s）环节的输入信号。

由图2-19a得

式中，G（s）=G₁（s）G₂（s）为串联环节的等效传递函数，可用图2-19b表示。由此可知，两个环节串联连接的等效方框，等于各个环节的传递函数之乘积。这个结论可推广到n个串联环节的情况。

2. 并联

如图2-20a所示，两个传递函数分别为G₁（s）与G₂（s）的环节以并联方式连接，G₁（s）与G₂（s）的输入信号相同，其输出信号相加（或相减）。

由图2-20a得

式中，G（s）=G₁（s）±G₂（s）为并联环节的等效传递函数，可用图2-20b表示。由此可知，两个环节并联连接的等效方框，等于各个环节的传递函数的代数和。这个结论可推广到n个并联环节的情况。

3. 反馈连接

如果传递函数分别为G（s）和H（s）的两个环节如图2-21a形式连接，就称为反馈连接。图中，“+”号为正反馈，“-”号为负反馈。信号的传递此时形成了封闭的路线，成为闭环控制系统。按照控制信号的传递方向，该闭环回路可分为两个通道：前向通道和反馈通道。前向通道从左至右正向传递控制信号，此通道中的传递函数称为前向通道的传递函数，如图2-21a中的G（s）。反馈通道是从右至左把输出信号反向传递（即反馈）至输入端，其传递函数称为反馈通道的传递函数，如图2-21a中的H（s）。H（s）=1时则称为单位反馈。

由图2-21a有

推导可得

式中，Φ（s）=称为系统的闭环传递函数，是环节反馈连接的等效传递函数。反馈连接的等效框图用图2-21b表示。对于简单系统的框图，用上述三种等效变换法则，即可方便求出系统的闭环传递函数。

4. 比较点和引出点的移动

在复杂系统的框图中，常常会出现传输信号的相互交叉，这样就不能直接用上述三种等效法则进行简化。解决的办法是先把比较点或引出点做合理的等效移动，其目的是去掉框图中的信号交叉。然后，再应用上述的等效法则对系统的框图进行简化。在对比较点或引出点做等效移动时，应注意保持移动前后各变量间的传递函数不变的原则。

表2-3列出了框图等效的基本规则。

【例2-21】 试用框图的等效变换，求图2-22所示系统的闭环传递函数。

解：该题的关键是解除环路的信号交叉，需要对两个引出点分别进行前移、后移操作，然后再依次利用串联连接、反馈连接的等效变换。具体等效变换步骤如图2-23所示。

最终求得系统的闭环传递函数为

【例2-22】 试用框图的等效变换，求图2-24所示系统的闭环传递函数。

解：利用框图的等效变换规则，该题需要依次进行引出点的前移、反馈连接、串联连接、再次反馈连接的等效变换。具体等效变换步骤如图2-25所示。

最终求得系统的闭环传递函数为

2.4.3 信号流图描述法

控制系统的信号流图与框图一样，都是描述系统各元件之间信号传递关系的数学图形。当控制系统结构比较复杂时，系统的框图往往是多回路的，且相互交错，框图的变换和化简则显得烦琐而费时。与框图相比，信号流图符号简单，更便于绘制和应用，应用这种方法时，不必对信号流图进行化简，利用梅森增益公式就可直接求出任意两个变量之间的传递函数。但是，信号流图只适用于线性系统，而框图不仅适用于线性系统，还可用于非线性系统。

1. 信号流图

信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络，是线性方程中变量关系的另一种图示法。图中的节点用小圆圈代表方程式中的变量，并等于所有流入该节点的信号之和。支路是连接两个节点的有向线段，用支路增益表示方程式中两个变量的因果关系，信号在支路上按箭头的指向由一个节点流向另一节点。简单系统的描述方程为x₂=ax₁，其中，x₁为输入信号，x₂为输出信号，a是这两个变量之间的增益。该方程式的信号流图如图2-26a所示。

例如，一个线性系统由下列方程组描述：

式中，x₁为输入信号；x₅为输出信号。方程组的信号流图如图2-26b所示。

在信号流图中，其基本术语如下。

1）源节点（或输入节点）。只有输出支路而无输入支路的节点称为源节点或输入节点，如图2-26a中的x₁。通常表示系统的输入量。

2）汇点（或输出节点）。只有输入支路而无输出支路的节点称为汇点，如图2-26a中的x₂和图2-26b中的x₅。通常表示系统的输出量。

3）混合节点。既有输入支路又有输出支路的节点称为混合节点，如图2-26b中的x₂、x₃、x₄。通常表示系统的中间变量。

4）前向通路。信号从输入节点到输出节点的通路上，通过任何节点不多于一次，则该通路称为前向通路。前向通路上，各支路增益的乘积称为前向通路总增益，一般用P_k表示。在图2-26b中从源节点到汇点共有两条前向通路，一条是x₁→x₂→x₃→x₄→x₅，其前向通路总增益为P₁=aceh；另一条是x₁→x₄→x₅，其前向通路总增益为P₂=dh。

5）回路。起点和终点在同一节点，且信号通过每个节点不多于一次的闭合通路称为单独回路，简称回路。回路中所有支路传递函数的乘积称为回路增益，用L_a表示。在图2-26b中共有3个回路：第一个回路是起始于节点x₂，经过节点x₃，最后回到节点x₂的回路，其回路增益为L₁=bc；第二个回路是起始于节点x₂，经过节点x₃、x₄、x₅，最后又回到节点x₂的回路，其回路增益为L₂=cegh；第三个回路是起始于节点x₄并回到节点x₄的自回路，其回路增益为L₂=f。

6）不接触回路。如果一些回路之间没有任何公共节点，这些回路称为彼此互不接触回路。在信号流图中可以有两个或两个以上不接触回路。在图2-26b中，有一对不接触回路，即回路x₂→x₃→x₂和回路x₄→x₄。

2. 信号流图的基本性质

信号流图的基本性质如下：

1）支路表示一个信号对另一个信号的函数关系；信号只能沿着支路上箭头表示的方向传递。

2）节点将所有输入支路的信号叠加，并把叠加结果送给所有相连的输出支路。

3）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传输的线路，可将其变为输出节点。

4）对于给定的系统，其信号流图不唯一，因为描述同一个系统的方程可以表示为不同的形式。

【例2-23】 试绘制图2-16所示两级RC电路网络的信号流图。

解：由例2-20可知，有

在上述各式中，有8个节点，分别为I₁（s）、I₂（s）、I（s）、E（s）、E_o（s）、E_i（s）、E_i（s）-E（s）、E（s）-E_o（s），其中，E_i（s）为输入节点，E_o（s）为输出节点，其余均为中间节点。

按照数学方程式表示的关系，将各变量用相应增益的支路连接，即可得系统的信号流图，如图2-27所示。

3. 梅森增益公式

当系统信号流图已知时，可以用公式直接求出系统的传递函数，这个公式就是梅森增益公式。由于信号流图和框图有着对应的关系，因此梅森增益公式同样也适用于框图。

求取任意节点之间传递函数的梅森增益公式记为

式中，P为系统总增益（总传递函数）；n为从输入节点到输出节点的前向通路的总条数；P_k为从输入节点到输出节点的第k条前向通路总增益；Δ为信号流图的特征式，由系统信号流图中各回路增益确定，即

其中，∑L_a为所有单独回路增益之和；∑L_bL_c为所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和；∑L_dL_eL_f为所有互不接触回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和；Δ_k为第k条前向通路特征式的余因子式，即在信号流图中，除去与第k条前向通路相接触的回路后Δ所余下的部分。

上述公式中的接触回路是指具有共同节点的回路，反之称为不接触回路。在应用梅森增益公式时，要确定所有的回路并区分它们之间是否相互接触，以及输入节点与输出节点之间的全部前向通路。在同一个信号流图中，不论求图中任意一对节点之间的增益，其分母总是Δ，变化的只是分子。

初看起来，式（2-65）的计算较为烦琐，事实上，由于实际系统具有大量相互接触回路的情况比较少见，因此梅森增益公式应用很广泛。

【例2-24】 某控制系统的信号流图如图2-28所示，求该系统的传递函数。

解：1）由图2-28可知，该系统有三个回路：L₁=be，L₂=-abcdg，L₃=-fdg，其中，仅L₁与L₃回路互不接触，∑L_bL_c=L₁L₃。故有

Δ=1-∑L_a+∑L_bL_c=1-（L₁+L₂+L₃）+L₁L₃

=1-be+abcdg+fdg-befdg

2）输入量与输出量之间有两条前向通道P₁=abcd，P₂=fd。故∑L_a=L₁+L₂+L₃。

3）三个回路均与第一条前向通道P₁接触，故P₁的特征余子式Δ₁=1。回路L₂、L₃与第二条前向通道P₂接触，故P₂的特征余子式Δ₂=1-L₁=1-be。

4）由梅森增益公式，可得系统的传递函数为

信号流图和框图都是用图形来描述系统各变量之间的传递过程，为了避免烦琐的框图变换以及绘制信号流图，可以对框图直接使用梅森增益公式。需要注意的是，对框图中的全部前向通道和回路以及它们是否接触等，都要正确识别不得遗漏。下面举例说明。

【例2-25】 图2-29所示的某控制系统的框图，其中，R（s）为输入信号，N（s）为干扰信号，试求传递函数、。

解：1）令N（s）=0，求。

有三个回路，且L₁、L₃互不接触：L₁=-G₂H，L₂=-G₁G₂，L₃=-G₁G₃。

两条前向通路及其余因子式为

P ₁=G₁G₂，Δ₁=1

P ₂=G₁G₃，Δ₂=1-L₁=1+G₂H

框图的特征式Δ=1-（L₁+L₂+L₃）+L₁L₃。

则有

2）令R（s）=0，求。回路不变，框图的特征式Δ不变。

三条前向通路及其余因子式为

P ₁=-1，Δ₁=1-L₁

P ₂=G₄G₁G₂，Δ₂=1

P ₃=G₄G₁G₃，Δ₃=1-L₁

则有

2.4.4 系统的传递函数

自动控制系统在工作过程中会受到两类输入信号的作用：一类是给定的有用信号，或称为输入信号、给定值r（t）；另一类则是阻碍系统进行正常工作的扰动信号，或称为干扰n（t）。输入信号r（t）通常是加在控制装置的输入端，也就是系统的输入端。而干扰n（t）一般是作用在受控对象上，但也可能出现在其他元部件上。研究系统输出量的运动规律，只考虑输入量是不全面的，常常还要考虑干扰信号的影响。控制系统的典型结构如图2-30所示。基于系统分析的需要，下面介绍一些传递函数的概念。

1. 开环传递函数

开环传递函数，指系统的反馈量B（s）与参考输入量R（s）的比值，在根轨迹法和频率法中用于分析系统特性的数学模型。在图2-30中，G_o（s）=G₁（s）G₂（s）H（s）称为系统的开环传递函数，即前向通道与反馈通道的传递函数之乘积

由此可得图2-30反馈连接的系统特征方程为D（s）=1∓G_o（s）。

2.r（t）作用下的闭环传递函数

令n（t）=0，图2-30可简化为图2-31。

此时，输出量c（t）对输入量r（t）的传递函数为

称Φ（s）为输入信号r（t）作用下系统的闭环传递函数。

若系统为单位负反馈系统，即H（s）=1，则有

3.n（t）作用下的闭环传递函数

为了研究干扰对系统的影响，需要求出c（t）对n（t）的传递函数。令r（t）=0，图2-30可简化为图2-32。

由图2-32可得，系统的输出c（t）对干扰n（t）的传递函数为

称Φ_N（s）为在干扰n（t）作用下系统的闭环传递函数。

由于干扰n（t）在系统中的作用位置与输入信号r（t）的作用点不一定是同一个地方，故两个闭环传递函数即式（2-68）和式（2-70）的分子一般是不相同的，但它们的分母即系统的特征方程却不会改变。

4. 系统的总输出

当给定输入r（t）和干扰输入n（t）同时作用于系统时，根据线性系统的叠加性，线性系统的总输出为各个输入信号单独作用于系统所引起的输出之和，即

5. 误差传递函数

在系统分析时，除了要了解输出量的变化规律之外，还要关心控制过程中误差的变化规律。因为误差的大小直接反映了系统的控制精度。在此，误差定义为给定信号与反馈信号之差，即

（1）r（t）作用下系统的给定误差传递函数Φ_ER（s）

令n（t）=0，图2-30转化为图2-33a，可求得

（2）n（t）作用下系统的扰动误差传递函数Φ_EN（s）

取r（t）=0，图2-30转化为图2-33b，可求得

（3）系统的总误差

根据叠加原理，系统的总误差为

将四个传递函数Φ（s）、Φ_N（s）、Φ_ER（s）和Φ_EN（s）的表达式进行比较，可以看出，各表达式虽然互不相同，但其分母是相同的，这是闭环控制的基本特征。即对于同一个闭环系统而言，无论哪类信号作为输入量，哪类信号作为输出量，它们之间的传递函数仅仅在于其分子不同，而其分母则完全相同，即分母均为闭环系统的特征方程[1+G₁（s）G₂（s）H（s）]。