6.不用埋单的午饭

一

读完中学了，有10个中学生盘算着找个餐馆一起祝贺一下。待众人都到了之后，侍者送上了第一盘菜，就在此时，中学生们却为座位的事吵闹起来。有人觉得大家应该按名字的拼读次序入座，也有些人觉得应该按年龄排序依次落座，还有人觉得应该按成绩依序就座，其余的人觉得应该按身高依次坐下……一帮刚走出中学校门的人就为这件事僵持着，直到汤都不冒热气了，还没有一个人入座用餐（图54）。

侍者上前开导了一番，才使众人的矛盾华为乌有：“中学生朋友们，请大家先安静下来。大家坐在靠近自己的座位上听我讲几句好吗？”

大家随便找了位子一一落座。侍者接着说道：“就请你们中的一个人熟记大家的座次。欢迎你们明日再来用餐，座位另有安排，后天可依别的座次落座，按照这个办法一直顺延，一直到大家换完所有的入座方式。如果哪天又轮回坐今天的座次，我请诸位免费吃我们这里最好吃的午饭！”

侍者的提议得到大家一致的赞同，他们就依照他的建议每日到此处用餐，并不停地变换落座方式，企盼免费用餐的日子快快到来。

可是，他们左等右盼就是吃不到免费的午餐。这不是侍者食言，而是变换座次的方法多得难以想象。他们算了算，座次的排列种类居然有36 288 00种之多。

由此他们很快就推算出，按他们这种方式变换座次，要换回第一次的落座次序得用9 942年。也就是说将近10 000年才有可能吃上侍者许诺的那顿免费的午饭，时间确实太长了。

二

难道你不信10个人有那么多种落座方法？那我们一起来求证一下。可是我们还需弄明白，如何实现座次的变换。我们找个简便的办法，大家来看看以下3个物品的摆放次序。我们就命名它们为A、B、C（图55）。

我们首要的问题是如何互换它们的位次。我们首先来推演一遍：假若不考虑C的话，那么余下的2件物品的位置就有如图56中的2种：

接下来，我们要将C置入这两组队列。那么共有3种摆放方法：

（1）让C位于各列之末；

（2）让C位于各列之首；

（3）让C位于另外2件物品中间。

很明显，抛开这三种排列方式，对物品C而言就没有另外的排列方式了。从图中大家不难发现总共2种排列方法——AC及CA，也就是说此3种物品的排列方式为6种（2×3）（图57）。我们来看图就可知这些排列方式分别是什么。

大家接着往下看，下面我们来求解4件物品的排列方式。我们假设现在有4件物品，我们分别称其为A、B、C、D。与上面一样我们把它们中的某个，比如D先搁到一边，我们来推导A、B、C三者间所可能有的摆放方法。由前我们获知，此三件物品的排放方法有6种。那到底可以采取几种方式把D搁进那6种摆放方式中？明显地，共有4种办法对不对？

一是在各列物品后摆上D；

二是在各列最前面摆放D；

三是在A、B之间放上D；

四是在B、C之间放上D。

那么，大家就会知道总共有24种排列法（6×4）。

由于6等于2与3相乘，2又等于1乘以2，于是该结果若是用乘法表示的话便为：1×2×3×4=24。

采用相同的办法我们便可推算出，若摆放的物品有5类，所可能的排法便为：1×2×3×4×5=120。

我们继续推演一下6件物品的排列方式：1×2×3×4×5×6=720。

大家可以依序逐次进行下去。

到这里我们就先告一段落，回到10位用餐者变换座次的事件（图58）。我们具体来看看会是什么样子。

若是大家能成功求得下面式子的值，也就会知道一共有多少种座次变换方式：1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。

计算结果跟前边的结果一致，都是3 628 800。

三

假若那十位中学生用餐者内有5位女生，她们又想与男生交替就座，那么一来运算就要麻烦一些。尽管在此情景下，落座的方式会变得少一些，可是却增大了运算的难度。倘若我们假定有1名男生见到座位便入座。其余的4名男生，若在两位男生间空一个座位给女生，这样一来可能有的就座方式便是1×2×3×4，即24种。总共就10张凳子，那么首先落座的男生就有10种就座方式。我们推算下来，男生们可采用的就座方式就有240种（10×24）。女生的落座方式有几种呢？答案是120种（1×2×3×4×5）。如果把男生所有的座次变换方式与女生的可采用的座次方式相乘，便可得到总的可采用的座次方式有28 800种（240×120）。

这么求得的结果较之我们前面运算的值是不是小了不少，可是就按这样的方式变换座次也得用79年的工夫——除非这10位学生都能活到100岁，否则他们就享受不到他们梦寐以求的那顿美味的免费午餐——那位承诺请他们免费用餐的服务员也许都不在了，只能由后继者为他们服务了（图59）。