纯粹几何学的云彩

爱因斯坦的大作发表后油墨几乎还未干，他就意识到了广义相对论的不完美之处。仔细看来，场方程式两侧似乎不太平衡。等号左侧，是精巧的关乎引力的几何学表达。而等号右侧，是各种物质和能量形式，甚至包括了电磁场的能量效应，这些东西粗粗剌剌地挤在应力能量张量表达式中。爱因斯坦对麦克斯韦方程极为敬重，不愿意让它处于次要位置。他意识到，电磁力应该通过类似引力的几何学表达形式来参与其中，而并不只是生硬地归在应力能量张量中。凭着对年轻时几何学启蒙的记忆，加之与格罗斯曼和其他人等接触后对几何学产生的兴趣，爱因斯坦立志要用几何原则来重写自然的所有定律。

从狭义相对论再到广义相对论，爱因斯坦意识到需要有第三次突破，将电磁力和引力融合在一起，完成大自然法则的转变。到那时候，麦克斯韦方程和引力理论，将是完全由几何关系整合成的统一场论中的特例。

爱因斯坦认为，方程的几何学一侧如果缺了电磁学就不是完整的广义相对论。对此薛定谔持相同意见。“我们很显然需要电磁场的场定律，”薛定谔后来写道，“某种我们可以将其视为对时空结构的纯粹几何限制的定律。除了纯粹引力相互作用的简单例子之外，1915年的理论并未得出这些定律。”[19]

当爱因斯坦将纯粹几何学而非物质效应指导下的几何学纳入其中时，他对实验的热情开始减退。尽管他的广义相对论的论文和讲座都强调了该理论需要实验验证——通过水星进动、光线弯曲以及另外一种叫作引力红移的效应等验证——但是在他向着统一场论的方向展开研究之后，他改变了自己之前的说法，转而采取了更加抽象的论点。有点讽刺的是，这个之前曾经喜欢待在实验室、觉得高深数学无关紧要、经常翘数学课的大学生，开始宣传数学的魅力，并用纯粹的理性来指导自己的理论了。爱因斯坦曾在题为“理论物理学的方法论”的讲座上说，“当然，检验数学构想的物理应用是否可行，实验仍旧是唯一标准。但是，创造性的原理蕴含于数学之中。因此，从某种意义上说，我相信正如古人所梦想的那样，通过纯粹的思维可以了解现实。”[20]

注重纯粹几何推理的哥廷根数学学派的研究人员注重纯粹的几何推理，他们使爱因斯坦越来越醉心于建立更为抽象的数学构想。例如，跟他越走越近、亲如兄弟的朋友兼知己埃伦费斯特（Ehrenfest），就起到了关键性的作用。

埃伦费斯特曾就读于哥廷根大学，听过克莱因的课。他与数学家妻子塔蒂耶娜（Tatyana）在克莱因的某节课上相识，两人都对几何学和物理学之间的关系十分感兴趣。他们把自己在荷兰莱顿的房子拿出来用作爱因斯坦的避难所，好让他避开柏林，全心思考理论难题，顺便还可以一起搞搞室内音乐（爱因斯坦拉小提琴，埃伦费斯特弹钢琴）。埃伦费斯特善于通过提问揭示问题的本质，在爱因斯坦绞尽脑汁把电磁力合并到广义相对论的过程中，他随时都在恭候。

克莱因虽然退休了，但他对广义相对论中的对引力势能和动量的应用也很感兴趣。就像薛定谔在1917年11月发表的第一篇论文中的观点一样，克莱因也认为这些量无须依赖坐标系就能界定出来。他认为，所有的观察者都会观测到相同的引力势能和动量。1918年，克莱因与爱因斯坦就该问题通了信。尽管爱因斯坦不想改变自己的界定方法，但是克莱因的评价似乎促使他对引力和电磁力一视同仁。但是对这两种力中的能量和动量进行不同的界定，也只是权宜之计而已，绝非长久之策。

希耳伯特是克莱因的得意下属，他也是自欧几里得以来几何学最优秀的集大成者[21]，自然深深地影响了爱因斯坦。爱因斯坦注意到，希耳伯特对广义相对论公式的表达试图将引力和电磁力结合起来，似乎是遵循了德国物理学家古斯塔夫·米（Gustav Mie）曾提出的“电磁场内电子是一种稳定的泡泡”的说法。在米的指引下，希耳伯特认为物质并非单独存在，而是能量场内团簇的结果。反过来，这些场可以用几何学来描述。起初，爱因斯坦并不接受希耳伯特的观点，但是他逐渐意识到，几何比物质更具根本性。

用几何学来解释电子和其他的物质粒子，就跟先知道绳结是怎样打出来的，然后再给别人解释一样。设想有个女孩发现毛线球上有些奇形异状的疙瘩，她以为这不是毛线而是其他的一些东西。之后她去跟妈妈央求要一盒子的绳结玩。假如她妈妈恰好是哥廷根大学的教授，那她就会耐心十足地给孩子解释，这些绳结不是别的东西正是毛线，然后再给孩子打一个看看。所以说，毛线是本（具根本性），绳结是标。同样道理，希耳伯特和米认为在自然秩序中，场的几何学才是最根本的，而粒子则是大自然的结，是以粒子的形式显现出来了而已。

德国数学家赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）是希耳伯特天赋异禀的学生，平日里朋友都称他为“皮特”，他于1918年获得哥廷根大学博士学位。1913年完成特许任教资格考试之后，外尔被派至苏黎世联邦工学院任职，在这里他和爱因斯坦有过短暂的共事经历，认识了彼此。1918年外尔就广义相对论及其可能性出版了一部题为《空间、时间、物质》（Space, Time, Matter）的长篇论述，之后随着认识的加深他又多次修订了这部书。他给爱因斯坦寄过该文的一个早期版本，爱因斯坦称其为“交响乐般的杰出之作”。[22]

爱因斯坦的称赞让外尔十分得意，他希望自己的新论文《引力和电力》也能得到相同的回应。文中提及了如何改造广义相对论，将麦克斯韦方程引入其中。他将手稿寄给了爱因斯坦，希望得到对方的推荐发表。

起初，爱因斯坦对这样一种将电磁力引入到引力里的方法很喜欢，可是后来，他改变了念头，因为他注意到，这一举动会毁了一整盘棋。外尔的想法会改变矢量在平行移动（与自身平行逐点移动）过程中的行为方式。在标准的广义相对论中，仿射联络展示了矢量分量如何变换，度规张量决定了时空间隔（四维距离）的测量方式，两者在直接的数学联系中是互相依赖的。在沙漠罩篷的类比中，这种关联就好比是支架和油布之间的关联。如果把其他的因子（外尔称其为“量规”）加进来的话，就把这种关联给打乱了。就像不同国家（例如俄罗斯和波兰）的铁路有不同的轨距一样，外尔认为需要逐点改变空间的四维距离标准。而加上这个规范因子之后，得到的额外好处是能产生一个等同于电磁场的效应。然而，爱因斯坦认为改变距离标准不符合物理规则，所以不愿意对自己的理论进行如此之大的修改。该想法被爱因斯坦否定后，外尔极为失望。

尽管外尔的“量规”想法从未融入广义相对论，但是后来该观点却在另一个领域——粒子物理学中大展身手。在现代理念中，应变系数属于一种抽象空间，而不是实际的空间。当代人们对希格斯玻色子（解释某些粒子剩余质量的关键）的关注，就要归功于外尔的“规范”理念。