1.6　地震波的衰减

1.5节介绍了线弹性介质中传播的地震体波和面波，没有考虑使波衰减（Attenuation）的任何因素，波幅因此不会发生改变。实际材料中波的传播不会发生这种情况，地震波是随着传播距离的增加而衰减的。这种衰减归因于两方面：一方面是岩土介质本身存在材料阻尼而要耗散一部分波动能量；另一方面则是存在几何扩散效应，使得单位体积的弹性能（称为比能）随传播面向远处的扩散而减小。

1.6.1　材料阻尼

在实际地质材料中，传播的行波所携带的弹性能总是有一部分转换成热能，使得波幅逐渐衰减。黏滞阻尼（Viscous damping）因其数学上的方便，常用来表示弹性能的这种耗散（即转换成热能）性质。因此，在黏弹性波动分析中，岩土体通常被模拟成所谓的开尔文-伏格特（Kelvin-Voigt）型固体材料，这种本构模型是最常用的流变模型（Rheological model）之一。如图1.6.1所示，该模型是由弹性元件（弹簧）和黏性元件（阻尼器）并联而成，土在动力作用下的应力由弹性恢复力和黏性阻尼力组成。

由于地震波的主要能量由剪切波所携带，因此通常考虑剪切波的作用效应。为方便计算，考虑SH波。考虑图1.6.1中的薄土层单元，土体剪切应力τ与剪应变γ、剪应变率（剪应变随时间的变化）的关系为

式（1.6.1）的物理意义是，总剪应力τ可归为弹性部分（正比于剪应变γ）与黏性部分（正比于剪应变率之和，η为介质黏性阻尼系数。若η＝0，则τ＝Gγ，满足胡克定律。这里假定土的剪切模量G和阻尼系数η是常数（实际上，剪切模量与阻尼系数随土的动应变幅值而变。一般地，剪切模量随剪应变幅值增加而降低，阻尼随剪应变幅值的增加而增加）。

若剪应变具有简谐形式：

则剪应力为

联立式（1.6.2）、式（1.6.3），可得

式（1.6.4）表明，在一个振动循环中，应力τ与应变γ所围成的图形为如图1.6.2所示的椭圆。

上图中的椭圆就是通常所说的滞回圈。在一个振动循环中所耗散的能量可由椭圆面积给出，即

式（1.6.5）表明，耗散的能量ΔW与加载频率ω成正比。但实际土体是通过晶粒间的相对滑移来实现能量的耗散，并不对加载频率ω有敏感性。

当剪应变达到最大值γ0时，剪应变率为零（对应速度为零，则动能为零），则在一个循环中所储存的最大弹性应变能（势能）为

引入按式（1.6.7）定义的阻尼比ζ：

因此，将式（1.6.4）与式（1.6.5）代入式（1.6.7）得

从而有

代入式（1.6.5），得

式（1.6.10）表明，若黏性阻尼系数η取式（1.6.9）表示的值，则耗散的能量ΔW就与加载频率ω无关了。

如图1.6.3所示，考虑沿竖向向上（＋z向）传播的剪切波，假定仅引起水平x方向的位移u（z，t）。

根据运动时土体单元受力的平衡，有

将式（1.6.1）代入，并注意到剪应变γ＝u/z，则

这是介质满足黏弹性应力-应变关系［如式（1.6.1）］的波动方程。若η＝0，则波动方程变为式（1.5.17）的标准形式。

假定式（1.6.12）的位移运动为简谐形式，同1.5.2.2节里的分析类似，这里也采用复数表示法（仅为了推导方便，以避免采用三角函数表示法所带来的表达式过于冗长），利用欧拉公式有

式中i＝为虚数单位，U（z）为沿深度变化的幅值。将式（1.6.13）代入式（1.6.12），得

式中G＊＝G＋iωη，一般称为复剪切模量。解上面的标准常微分方程，可得U（z），再代入式（1.6.13），可得位移为

系数A，B由边界条件确定，而k＊＝一般称为复波数，可写成

其中

仅正的k1和负的k2具有物理意义。实际位移可只取式（1.6.15）的实部。注意，对于无黏性情况，η＝ζ＝0，k2＝0，k1＝k。

对于一个沿＋z向传播的波，位移式（1.6.15）的第一项可写成

由于k2＜0，式（1.6.18）意味着材料阻尼ζ的存在使得波幅A随距离的增加而以指数ek2z规律衰减。

1.6.2　辐射阻尼

地震波从震源向外传播，即使介质没有材料阻尼起衰减作用，单位体积的能量也随着传播范围的扩大而逐渐衰减，这就是所谓的介质辐射阻尼（Radiation damping，也称几何扩散阻尼）在起作用。从震源向外传播得越远，能量就衰减得越多。下面通过一个纵波衰减的例子对此进行说明。

如果发震断层破裂范围很有限，断层区尺寸仅约数千米，那么震源可用一个点源来表示。从震源发出的波将沿所有方向以波速c向外传播，波动的前沿（称为波前）是一系列不断扩大的球面（图1.5.5）。在球半径r足够远处，波前可认为是平面。在球内部取一微小夹角为α的无限长楔形体，在r处取一长为dr的微元ABCD，如图1.6.4所示。由于α足够小，可认为在AB和CD面上作用的正应力（此处考虑的是纵波）为均匀分布。假定质点的径向位移为u（r，t），以向外扩散传播为正。这里不考虑材料阻尼，可列出微元ABCD在半径方向的运动平衡方程：

化简式（1.6.19），并由应力-应变关系（图1.5.4）：

得

式（1.6.21）正是标准波动方程，其解具有形式

由于考虑的是从震源向外传播的波，因此，舍去表示向内传播的波g（r＋ct），位移为

式（1.6.24）表明，位移随传播距离r的增加而减小。这就相当于尽管没有考虑介质的材料阻尼作用，介质中仍存在某种阻尼而使运动衰减，这种阻尼称为辐射阻尼或几何扩散阻尼。

对于面波的类似研究表明，位移随传播距离以的规律衰减，比体波衰减要慢得多。这也就是在震中距远的地点所观测到的面波运动分量要比体波大的原因。

在很多问题当中，比如地震波能量从有限大尺度的断层释放，以及地基基础受到动力机器激励而振动的情况，介质中的辐射阻尼对波动的衰减常比材料阻尼要大。