3.4 溃坝概率计算
溃坝概率计算方法分为半定量分析法和定量分析法。半定量分析法可采用事件树法，定量分析法可采用可靠度法。事件树法可用于各类大坝的溃坝概率计算，可靠度法可用于混凝土坝和浆砌石坝的溃坝概率计算。
由于大坝运行环境（水位、温度、地震、上游水库溃坝、库区滑坡等）变化的随机性、筑坝材料（尤其是土石坝）物理力学特性的变异性、建设与管理环节人为因素的不确定性，采用可靠度法计算溃坝概率需要的基础资料很多，困难很大，实际很少采用。大坝风险评估作为决策根据，目前主要采用事件树法计算溃坝概率，但事件树中的某些确定性分支事件或环节，如洪水漫顶、滑坡、渗透破坏等，也可采用可靠度法计算。
3.4.1 事件树法
3.4.1.1 基本概念
事件树分析（Event Tree Analysis，简称ETA）是一种时序逻辑分析方法，分析的情况用树枝状图表示［54］。该方法以初始事件为起点，按照事故的发展顺序，对可能的后续事件逐步进行分析，直至系统事故或破坏为止。事件发生顺序存在着一定的因果逻辑关系，某一事件既可能是一个或多个后续事件的发生条件，也可能是先期事件发生后的可能后果；当对每一事件赋予相应的发生概率时，就可以估算系统故障发生的总体概率。
事件树法计算溃坝概率步骤如下：
（1）筛选初始事件。通过风险要素识别，确定某种荷载状态下可能导致系统失效（溃坝）的初始事件，如洪水、地震、渗漏破坏、人为失误等。
（2）构造事件树。通过溃坝模式与溃坝路径分析，从初始事件开始，按事件发展过程构造事件树，用树枝代表事件发展途径。
（3）简化事件树。在构造事件树的过程中，可能会遇到一些与初始事件或事故无关的事件，或者系统的某些要素功能相互矛盾，需用工程知识和系统设计知识予以辨别，然后从树枝中去掉，即构成简化的事件树。
（4）计算事件发生概率。确定事件树中各分支事件的发生概率，进而计算事件发生概率，即各个分支事件发生的条件概率的乘积。
事件树中各分支事件发生概率可按以下方法确定：
（1）事件树中初始事件发生概率可根据初始事件发生频率进行计算。
（2）事件树中各分支事件发生概率可根据历史资料统计法、专家经验法或可靠度法赋值。
（3）事件树中某分支事件如果是由若干事件共同作用引起的，可采用故障树法计算该分支事件发生概率。
水库大坝在荷载（如洪水、地震）作用下溃决概率是荷载大小的函数，而且水库大坝溃决概率随荷载增大而连续变化，因此，在理论上可以通过可靠度法来计算水库大坝溃决概率。但由于计算复杂，在实际中，常把荷载频率曲线分隔成若干部分，每一部分称为荷载状态（load state）。常采用两种方法划分荷载状态：手工划分法和计算机自动划分法。手工划分法一般把整个荷载区域划分为3～10个荷载状态，把荷载状态两个端点的平均值作为计算该荷载状态下水库溃坝概率的依据，荷载状态的概率是该频率范围内两个端点的频率之差。计算机自动划分法是通过计算机软件自动划分荷载状态，划分荷载状态越多，计算该荷载状态下溃坝概率精度越高，但计算量也越大，因此一般把荷载区域划分为50个荷载状态左右即可。
所谓历史资料统计法，即是根据历史上发生过类似事件的概率，来确定将来发生该事件的可能性。但是，历史上该事件（如渗流破坏）发生机理与条件和所分析的水库大坝之间可能不存在可比性和可借用性，因此，应用历史资料统计法时，应与专家经验法相互比较，谨慎使用。
采用专家经验来定量确定溃坝过程中各个环节发生的概率，是把专家对某一事件可能出现的定性判断转化为可能出现的定量概率。国外Steven G.Vick和J.Barneich分别在1992年和1996年提出了事件发生概率的定性描述和定量概率之间转换关系表［56，57］，见表3.12。USBR也在1999年提出了结合两者优点的一种转换表［58］，见表3.13。澳大利亚ANCOLD 2003风险评估指南给出了事件发生可能性的定性描述与相应概率之间的转换关系，并给出了判断依据［3］，见表3.14。我国李雷、王仁钟等人结合我国具体情况和国外使用经验，提出了适合我国的事件发生的定性描述与概率之间的转换关系［33］，见表3.15，表中不同事件发生概率的判断依据可参见文献［33］，后来盛金保等人对这些判断依据进行了修改完善，见附录B。
表3.12 Barneich和Vick提出的定性描述和定量概率间转换表
表3.13 USBR 1999年提出的转换表
表3.14 定性描述和事件发生概率的转换（Bowden，2001）
表3.15 事件发生可能性的定性描述和概率对应表
采用专家经验法赋值时，为减少人为因素影响，应由3位以上专家独立赋值，然后取均值，或根据专家水平与经验丰富程度加权平均。当不同专家之间的赋值差异较大时，应探讨协商确定。
采用事件树法时，如资料充分，洪水漫顶、渗透破坏、坝体滑坡、结构破坏（如裂缝）、地震破坏等分支事件或环节发生的概率可采用可靠度法计算。
故障树分析（Fault Tree Analysis，简称FTA）是一种演绎推理法，是从结果到原因找出与灾害事故有关的各种因素之间因果关系及逻辑关系的分析法［54］。该法采用图形演绎分析，自上而下逐层展开，根据布尔逻辑表示系统特定故障间的相互关系，对故障发生的基本原因进行推理分析，建立从结果到原因描述故障的有向逻辑图，这个树状结构图即称为故障树。
利用故障树进行分析时，应首先对所研究的系统进行熟悉，确定顶上事件，顶上事件即所要分析的对象事件，从顶上事件起进行演绎分析，一级一级地找出所有直接原因事件，直到所要分析的深度，画出故障树图，确定最小割集和最小径集，确定所有原因事件发生的概率，进而求出顶上事件的发生概率。割集是指故障树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都发生时，顶上事件必然发生。如果在某个割集中任意除去一个基本事件就不再是割集了，这样的割集就称为最小割集，可采用行列法或布尔代数化简法等方法求最小割集。径集是指故障树中某些基本事件的集合，当这些基本事件都不发生时，顶上事件必然不发生。如果在某个径集中任意除去一个基本事件就不再是径集了，这样的径集就称为最小径集。系统的全部故障模式就是系统的全部最小割集，系统的全部正常模式就是系统的全部最小径集。
故障树应用及相应失效概率的计算示例见图3.3、图3.4。
图3.3 心墙裂缝或水力劈裂故障树计算示意图
3.4.1.2 计算方法
事件树法计算溃坝概率方法如下。
（1）某种荷载状态下某条溃坝路径的溃坝概率Pi，j可按式（3.1）计算。
式中 Pi，j——第i种荷载状态、第j种溃坝模式的溃坝概率；
p（i，j，k）——第i种荷载状态、第j种溃坝模式下第k个环节发生的概率；
i——荷载状态，i=1，2，…，n；
j——溃坝模式，j=1，2，…，m；
k——溃坝路径中的某一环节，k=1，2，…，s。
（2）当溃坝模式数量m较少时，某种荷载状态下的溃坝概率Pi按式（3.2）计算，否则，Pi可取式（3.3）的上限或者上限和下限的均值。
式中Pi——第i种荷载状态的溃坝概率；
A 1，A2，…，Am——第i种荷载状态下的m个溃坝模式；
Pi ， j ——第i种荷载状态、第j种溃坝模式的溃坝概率；
m——溃坝模式数量。
（3）溃坝概率P可按式（3.4）计算。
图3.4 溢洪道弧形闸门启闭失效故障树
式中 P——溃坝概率；
Pi——第i种荷载状态的溃坝概率；
n——荷载状态数量。
事件树法应用及相应概率的计算示例见图3.5。
图3.5 事件树计算示意图
3.4.2 可靠度法
3.4.2.1 基本概念
结构可靠度定义为结构在规定的时间与一定的条件下完成结构预定功能的概率［55］。在这里，规定的时间是指结构的设计基准期；规定的条件是指设计时预先确定的结构各种施工和使用条件；预定功能一般是指结构设计的四项要求（①能承受在施工和试用期内可能出现的各种作用；②在正常使用时具有良好的工作性能；③具有足够的耐久性；④在偶然事件发生时及发生后，能保持足够稳定）。结构完成各项功能的标志可用相应的极限状态来衡量。结构整体或某一部分超过某一特定状态时，结构就不能满足设计规定的某一功能要求，这一特定状态称为结构的极限状态。因此，结构的极限状态是区分结构工作状态为可靠或不可靠的分界线。
结构极限状态一般可分为以下两类。
（1）承载能力极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到最大承载能力或达到不适于继续承载的变形。例如：结构整体或某一部分失去平衡，结构构件或连接处超过材料的强度而破坏，结构或构件丧失稳定等。
（2）正常使用极限状态。这种极限状态对应于结构或构件达到正常使用和耐久性的各项规定限值。例如：影响正常使用或外观效果的过度变形，影响正常使用或耐久性能的局部破坏，影响正常使用的剧烈振动等。
可靠度法计算溃坝概率步骤如下。
（1）大坝工作状态的功能函数。
式中 X1，X2，…，Xn——大坝的基本随机因子；
Z——大坝的功能函数；
R——抗力随机因子；
S——荷载效应随机因子。
（2）大坝工作状态的可靠度。
式中 β——可靠度；
μR、μS——R和S的均值；
σR、σS——R和S的标准差。
（3）溃坝概率。
式中 Pf——溃坝概率；
fX（x1，x1，…，xn）——随机因子X1，X2，…，Xn的概率密度函数；
Φ（·）——标准正态分布函数。
3.4.2.2 计算方法
采用可靠度法计算溃坝概率，目前主要集中在大坝洪水漫顶破坏概率、大坝滑动失稳破坏概率、大坝渗透破坏概率、大坝裂缝破坏概率、大坝地震破坏概率以及其他破坏（如生物破坏）发生的概率研究上［59-66］，主要计算方法有一次二阶矩法、JC法、蒙特卡罗法、随机有限元法等［55，67］。
（1）大坝失稳破坏概率。大坝失稳破坏概率可按式（3.9）计算。
式中 Pf2——失稳破坏概率；
MS——滑动力（矩）；
MR——阻滑力（矩）；
f（MS）——滑动力（矩）的概率密度函数。
（2）大坝渗透破坏概率。大坝渗透破坏概率可按式（3.10）进行计算。
式中 Pf3——渗透破坏概率；
J——渗流产生的出逸比降；
Jc——渗流产生的临界比降；
f（J）——渗透坡降的概率密度分布函数。
（3）大坝强度破坏概率。大坝强度破坏概率可按式（3.11）计算。
式中 Pf4——强度破坏概率；
σ——材料的应力；
σc——材料的允许应力。
3.4.2.3 洪水漫顶概率计算案例
以某水库大坝为例进行漫顶概率分析。该水库枢纽由拦河坝、溢洪道、放水涵等组成。溢洪道位于大坝东部，为宽顶堰式溢洪道。该水库为小（1）型水库，总库容150.8万m3，设计洪水标准为50年一遇，校核洪水标准为500年一遇，兴利水位47.80m，实际坝顶高程为50.74m。
（1）坝顶高程。考虑到该水库大坝没有监测资料，且已运行多年，坝顶沉降趋于稳定，可认为该水库大坝坝顶高程服从正态分布，均值取为50.74m，均方差取为0.005m。
（2）起调水位。该水库溢洪道为宽顶堰式溢洪道，取起调水位均值为堰顶高程，即47.80m，均方差为0.01m。
（3）洪水导致水位增高。水库溢流堰高程47.80m，即正常蓄水位为47.80m，自由泄洪，无闸控制，防洪复核中起调水位按正常蓄水位47.80m。经调洪计算，水库50年一遇设计洪水导致坝前水位增高1.04m，500年一遇校核洪水导致坝前水位增高1.49m。
（4）风壅高度e和波浪爬高hp。一般认为，风壅高度e符合极值I型分布，波浪爬高hp为瑞利分布，风壅高度e和波浪爬高hp可按式（3.12）计算。
式中 K——综合摩阻系数，其值为（1.5～5.0）×10-6，计算时取K=3.6×10-6；
v 10——水面以上10m处的风速，m/s；
D——水库吹程，m；
H——水域的平均水深，m；
β——计算风向与坝轴线法线的夹角，为安全起见，一般取0°；
——波浪高度及其均值；
——平均波长；
KΔ——斜坡的糙率渗透性系数；
Kv——经验系数，与风速、坝前水深等因素有关；
m——斜坡的坡度系数；
W——计算风速，校核情况下取多年平均最大风速，设计情况下取多年平均最大风速的1.5倍，根据水库所处地的资料分析，多年平均最大风速为12m/s，水库吹程取为0.25km，坝前平均水深取为8.0m。
综上，设计和校核洪水下各影响因素特征值见表3.16。
表3.16 坝前水位各种影响因素的特征值表
采用蒙特卡罗方法，分别对设计洪水情况和校核洪水情况进行分析，计算得出的漫顶概率分别为0和3.32×10-4，前者表明可以认为在设计洪水情况下不可能发生漫顶；后者达到了10-4级，和实际平均年溃坝率相当，表明即使在500年一遇的校核洪水情况下，漫顶概率也很小。
3.4.2.4 强度破坏概率计算案例
某连拱坝较为普遍的现象是垛头发生裂缝，并且不断扩展，具有较大的危害性。采用混合模型确定支墩上游面垛踵的荷载效应，见式（3.13）：
式中 H——坝面1—2月最大水深；
T——垛墙年最大混凝土平均温降。
考虑到连拱坝的水压荷载、均匀温度近似为正态随机变量，材料抗力也可取正态分布；连拱坝在不利荷载作用下，应力较高。水压荷载PH、温变T和抗拉极限R拉为随机变量，相应的分布及参数值见表3.17。
表3.17 H、T、R拉的特征参数
采用FJC法进行计算，结果见表3.18。
表3.18 计算结果
注 βα为模糊可靠度初步指标，βf为模糊可靠度指标，P
为实际失效概率。